Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
1.2.18.Załóżmy,żefmawahanieskończonena[a,b]iżef(x)≥m>0dla
x∈[a,b].Wykazać,żeistniejąrosnącefunkcjegihtakie,że
f(x)=
h(x)
g(x)
dla
x∈[a,b].
1.2.19.Wyznaczyćfunkcjedodatniegoiujemnegowahaniadlanastępujących
funkcji:
(a)f(x)=x3−|x|,
x∈[−1,1],
(b)f(x)=cosx,
x∈[0,2π],
(c)f(x)=x−[x],
x∈[0,3].
1.2.20.Załóżmy,żefmawahanieskończonena[a,b].Udowodnić,żejeślif
jestciągłaprawostronnie(lewostronnie)wxo,tofunkcjavfjestrównieżciągła
prawostronnie(lewostronnie)wxo.
1.2.21.Wykazać,żezbiórpunktównieciągłościfunkcjifowahaniuskończonym
na[a,b]jestconajwyżejprzeliczalny.Ponadto,jeśli{xn}ciągiempunktów
nieciągłościf,tofunkcjag(x)=f(x)−s(x),gdzies(a)=0orazdlaa<x≤b,
s(x)=f(a+)−f(a)+Σ
(f(x+
n)−f(x-
n))+f(x)−f(x-),
xn<x
jestciągłana[a,b].
1.2.22.Załóżmy,żefjestfunkcjąowahaniuskończonymna[a,b]iokreślmy
funkcjęgnastępująco:
g(a)=0
i
g(x)=
x–a∫
1
a
x
f(t)dt,x∈(a,b].
Udowodnić,żegmawahanieskończonena[a,b].
1.2.23.Wykazać,żejeślifspełniawarunekLipschitzana[a,b],tofunkcjavf
równieżspełniawarunekLipschitzaztąsamąstałąLipschitza.
1.2.24.Udowodnić,żejeślifmawłasnośćDarbouxijestfunkcjąowahaniu
skończonymna[a,b],tofjestfunkcjąciągłąnatymprzedziale.Wywnioskować
stąd,żejeślif!mawahanieskończonena[a,b],tof!jestciągłana[a,b].
1.2.25.Udowodnić,żejeślifmaciągłąpochodnąna[a,b],to
vf(x)=∫
a
x
|f!(t)|dt.
1.2.26.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąiαjestfunkcjąrosnącąna[a,b].Wy-
kazać,żefunkcja
F(x)=∫
a
x
f(t)dα(t),
x∈[a,b],
mawahanieskończonena[a,b].
