Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.DALSZEWŁASNOŚCICAŁKIRIEMANNA–STIELTJESA
15
1.3.5.Załóżmy,żeαjestfunkcjąciągłąowahaniuskończonymna[a,b]taką,że
dlakażdejfunkcjifciągłejna[a,b]prawdziwajestrówność
∫
a
b
f(x)dα(x)=0.
Wykazać,żewtedyαjestfunkcjąstałąna[a,b].
1.3.6.Niechαbędziefunkcjąrosnącąna[0,π]itaką,że
∫
o
π
sinxdα(x)=α(π)−α(0).
Wykazać,że
α(x)={
α(0)
α(π)
dlax∈[0,π/2),
dlax∈(π/2,π].
1.3.7.Znaleźćtakąfunkcjęαrosnącąna[0,1],żedlakażdejfunkcjifciągłejna
[0,1]prawdziwajestrówność
∫
o
1
f(x)dα(x)=
f(0)+f(1)
2
.
1.3.8.Znaleźćtakąfunkcjęfciągłąna[a,b],żedlakażdejfunkcjiαrosnącejna
[a,b]prawdziwajestrówność
∫
a
b
f(x)dα(x)=α(b)−α(a).
1.3.9.Załóżmy,żeαjestfunkcjąowahaniuskończonymna[a,b]ifunkcjefn,
n=1,2,...,sącałkowalnewsensieRiemanna–Stieltjesawzględemαna[a,b].
Udowodnić,żejeśliciąg{fn}jestjednostajniezbieżnyna[a,b]dofunkcjif,to
fjestrównieżcałkowalnawsensieRiemanna–Stieltjesaoraz
∫
a
b
f(x)dα(x)=lim
n→∞∫
a
b
fn(x)dα(x).
1.3.10.Obliczyćgranicę
n→∞∫
lim
o
1
nx(1−x2)ndx.
1.3.11.Dladowolnejfunkcjiαowahaniuskończonymna[0,1]znaleźćgranicę
n→∞∫
lim
o
1
xndα(x).
1.3.12.Załóżmy,że{αn}jestciągiemfunkcji,którychwahaniana[a,b]sąjed-
nostajnieograniczone,toznaczy,istniejetakastałaM>0,żeV(αn;a,b)≤M
