Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.DALSZEWŁASNOŚCICAŁKIRIEMANNA–STIELTJESA
17
(b)Jeślifjestdodatniąfunkcjąmalejącąna[a,b]iαjestfunkcjąciągłąowa-
haniuskończonymna[a,b],toistniejetakipunktc∈[a,b],że
∫
a
b
f(x)dα(x)=f(a)∫
a
c
dα(x)=f(a)(α(c)−α(a)).
1.3.18.Obliczyć
n→∞∫
lim
a
b
sin(nx)
x
dx,
gdzie0<a<b.
1.3.19.Niechx>0.Udowodnić,że
(a)jeśliF(x)=∫
x
x+1
sin(t2)dt,to|F(x)|≤1/x,
(b)jeśliF(x)=∫
x
x+1
sin(et)dt,to|F(x)|≤2/ex.
1.3.20.Wykazać,żejeślifunkcjef,α1,α2sąciągłeimająwahanieskończonena
[a,b],to
∫
a
b
f(x)d(α1(x)α2(x))=∫
a
b
f(x)α1(x)dα2(x)+∫
a
b
f(x)α2(x)dα1(x).
1.3.21.Wykazać,żejeślifunkcjafjestciągłaimawahanieskończonena[a,b],
todladowolnejliczbynaturalnejnprawdziwesąrówności
∫
a
b
f(x)d((f(x))n)=n∫
a
b
(f(x))ndf(x)=
n+1
n
((f(b))n+1−(f(a))n+1).
1.3.22.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąna[0,1].Znaleźćnastępującegranice:
(a)lim
(b)lim
(c)lim
n→∞
n→∞(n∫
n→∞(n∫
∫
∫
oxnf(x)dx
1
oxnex
1
o
o
1
1
xnf(x)dx),
e-nxf(x)dx),
2dx
,
(d)lim
n→∞(√n∫
o
1
f(x)sin
2n(2πx)dx),
(e)lim
n→∞
∫
∫
of(x)sin2n(2πx)dx
1
oex2sin2n(2πx)dx
1
.
1.3.23.Udowodnićnastępującetwierdzenieomonotonicznymprzechodze-
niudogranicypodznakiemcałki.
Jeśli{fn}jestmalejącymciągiemfunkcjicałkowalnychwsensieRiemannana
[a,b]zbieżnymdofunkcjifcałkowalnejwsensieRiemannanatymprzedziale,
to
n→∞∫
lim
a
b
fn(x)dx=∫
a
b
f(x)dx.
