Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
dlawszystkichn.Dowieść,żejeśliciąg{αn}jestzbieżnydofunkcjiαna[a,b],
todlakażdejfunkcjifciągłejna[a,b]prawdziwajestrówność
n→∞∫
lim
a
b
f(x)dαn(x)=∫
a
b
f(x)dα(x).
1.3.13.Załóżmy,że{αn}jestciągiemfunkcji,którychwahaniana[a,b]sąjed-
nostajnieograniczone.Dowieść,żejeśliciąg{αn}jestzbieżnydofunkcjiαna
[a,b]ijeśli{fn}jestciągiemfunkcjiciągłychzbieżnymjednostajniena[a,b]do
f,to
n→∞∫
lim
a
b
fn(x)dαn(x)=∫
a
b
f(x)dα(x).
1.3.14.UdowodnićnastępującepierwszetwierdzenieHelly’ego.
Niech{αn}będzietakimciągiemfunkcji,że|αn(a)|≤MiV(αn;a,b)≤Mdla
wszystkichn∈N.Wtedyzciągu{αn}możnawybraćpodciąg{αn
k}zbieżnydo
funkcjiαowahaniuskończonymna[a,b].Ponadto,dlakażdejfunkcjifciągłej
na[a,b]prawdziwajestrówność
k→∞∫
lim
a
b
f(x)dαn
k(x)=∫
a
b
f(x)dα(x).
1.3.15.UdowodnićdrugietwierdzenieHelly’ego,którejestuogólnieniem
twierdzeniapodanegowzadaniu1.3.12.
Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąiαjestfunkcjąowahaniuskończonymna
[a,b].Jeśliciąg{αn}funkcjimającychjednostajnieograniczonewahaniana
[a,b]jestzbieżnydofunkcjiαnazbiorzeAgęstymw[a,b]itakim,żea,b∈A,
to
n→∞∫
lim
a
b
f(x)dαn(x)=∫
a
b
f(x)dα(x).
1.3.16.Udowodnićdrugietwierdzenieowartościśredniej.
Jeślifjestfunkcjąmonotonicznąiαjestfunkcjąciągłąowahaniuskończonym
na[a,b],toistniejepunktc∈[a,b],dlaktórego
∫
a
b
f(x)dα(x)=f(a)∫
a
c
dα(x)+f(b)∫
c
b
dα(x)
=f(a)(α(c)−α(a))+f(b)(α(b)−α(c)).
1.3.17.UdowodnićnastępującewersjeBonnetadrugiegotwierdzenia
owartościśredniej.
(a)Jeślifjestdodatniąfunkcjąrosnącąna[a,b]iαjestfunkcjąciągłąowa-
haniuskończonymna[a,b],toistniejetakipunktc∈[a,b],że
∫
a
b
f(x)dα(x)=f(b)∫
c
b
dα(x)=f(b)(α(b)−α(c)).
