Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.CAŁKARIEMANNA
1.4.4.Niechfbędziefunkcjąokreślonąwnastępującysposób
f(x)=sin
c
1
x
dlax/=0,
dlax=0,
19
gdziec∈[−1,1].Dlajakichwartościcistniejefunkcjapierwotnafunkcjif?
1.4.5.Niechxn=1/√n,n∈N,iniechfbędziefunkcjąciągłąna(0,1],nie-
ujemnąna[x2k,x2k-1]iniedodatniąna[x2k+1,x2k].Załóżmyponadto,żefunk-
cjapierwotnaFfunkcjifspełniawarunekF(x2k-1)−F(x2k)=F(x2k+1)−
F(x2k)=1/k.Przedłużmyfunkcjęfnaprzedziałdomknięty[0,1],przyjmując
f(0)=0.Udowodnić,żeistniejefunkcjapierwotnafunkcjifna[0,1],alenie
istniejefunkcjapierwotna|f|natymprzedziale.
1.4.6.Wykazać,żedladowolnejfunkcjifciągłejna[0,1]prawdziwajestrówność
∫
o
π
xf(sinx)dx=
π
2∫
o
π
f(sinx)dx.
Wykorzystującpowyższąrówność,obliczyć
∫
o
π
sin2nx+cos2nx
xsin2nx
dx,
n∈N.
1.4.7.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąna[−a,a],a>0.Wykazać,że
(a)jeślifjestfunkcjąparzystą,to
∫
-af(x)dx=2∫
a
of(x)dx,
a
(b)jeślifjestfunkcjąnieparzystą,to
∫
-af(x)dx=0.
a
1.4.8.Niechf:R→RbędziefunkcjąciągłąiokresowąookresieT>0.
Udowodnić,żedlakażdejliczbyrzeczywistejamamy
∫
a
a+T
f(x)dx=∫
o
T
f(x)dx.
1.4.9.Niechf:R→RbędziefunkcjąciągłąiokresowąookresieT>0.
Udowodnić,żejeślia<b,to
n→∞∫
lim
a
b
f(nx)dx=
b–a
T
∫
o
T
f(x)dx.
1.4.10.Niechf∈C([−1,1]).Obliczyćnastępującegranice:
(a)lim
(b)lim
(c)lim
n→∞
n→∞
n→∞
∫
n∫
1
n∫
1
o
1
xf(sin(2πnx))dx.
o
o
n
n
f(sinx)dx,
f(|sinx|)dx,
