Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
1.4.11.Niechf∈C([a,b]).Obliczyćnastępującegranice:
(a)lim
(b)lim
n→∞
n→∞
∫
∫
a
a
b
b
f(x)cos(nx)dx,
f(x)sin
2(nx)dx.
n→∞
lim
∫
a
b
f(x)sin(nx)dx,
1.4.12.Niechf∈C([0,∞))iniech
an=∫
o
1
f(n+x)dx
dla
n=0,1,...
Załóżmy,żelim
n→∞
an=a.Znaleźćgranicęlim
n→∞
∫
of(nx)dx.
1
1.4.13.Niechfbędziefunkcjądodatniąiciągłąna[0,1].Obliczyćcałkę
∫
o
1
f(x)+f(1–x)
f(x)
dx.
1.4.14.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąciągłąiparzystąna[−a,a],a>0,to
∫
-a
a
1+ex
f(x)
dx=∫
o
a
f(x)dx.
1.4.15.Wykazać,żejeślifjestfunkcjąnieujemnąiciągłąna[a,b]ijeśli
∫
a
b
f(x)dx=0,
tofjesttożsamościoworównazeruna[a,b].
1.4.16.Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąna[a,b]iżedladowolnychα,B,a≤
α<B≤b,prawdziwajestrówność
∫
α
β
f(x)dx=0.
Wykazać,żefjesttożsamościoworównazeruna[a,b].
1.4.17.Niechfbędziefunkcjąciągłąna[a,b]itaką,że
∫
a
b
f(x)g(x)dx=0
dlakażdejfunkcjigciągłejna[a,b].Wykazać,żefjesttożsamościoworówna
zeruna[a,b].
1.4.18.Niechfbędziefunkcjąciągłąna[a,b]itaką,że
∫
a
b
f(x)g(x)dx=0
dlakażdejfunkcjigciągłejna[a,b]itakiej,żeg(a)=g(b)=0.Wykazać,żef
jesttożsamościoworównazeruna[a,b].
