Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Homografie.Własnościogólne
9
1.3.Przekształcenialiniowe(homotetie)
1.3.1
Podaćinterpretacjęgeometrycznąprzekształcenialiniowego(homotetii)w=az+b
(a/=o).
1.3.2.
Wykazać,żeprzyprzekształceniuliniowym:
(i)okrągprzechodziwokrąg,
(ii)paraprostychrównoległychwparęprostychrównoległych,
(iii)stosunekpodziału(zł,z2,z3)=(z3–zł)/(z3–z2)zachowujesię,
(iv)zachowująsiękątypomiędzykrzywymi.
1.3.3.
Znaleźćprzekształcenielinioweprzeprowadzającepaso<rez<łwpas
–
ł
2
π<imw<
ł
2
π,przyktórymz=
ł
2
↔w=o.
1.3.4.
Znaleźćpostaćogólnąprzekształcenialiniowegoprzeprowadzającego:
(i)górnąpółpłaszczyznęwsiebie,
(ii)górnąpółpłaszczyznęwdolnąpółpłaszczyznę,
(iii)górnąpółpłaszczyznęwprawąpółpłaszczyznę.
1.3.5.
Wyznaczyćprzekształcenieliniowe,przeprowadzającodcinek[a,b]wodcinek
[A,B]tak,żea↔A,b↔B.
1.3.6.
Znaleźćhomotetięprzekształcającątrójkątowierzchołkacho,ł,iwtrójkąt
owierzchołkacho,2,ł+i.
1.3.7.
Znaleźćhomotetięprzeprowadzającąpaskx+bł≤y≤kx+b2,gdzieb2>bł,
wpaso≤rew≤ł,przyktórejz=ib2↔w=o.
1.3.8.
Wykazać,żejeżelia/=o,ł,tohomotetiaw=az+bmadokładniejeden
punktniezmiennyzoorazmożnająprzedstawićwpostaciw–zo=a(z–zo).Podać
interpretacjęgeometrycznątegoprzekształcenia.
1.3.9.
Wyznaczyćpunktniezmiennyzo,kątobrotuistosunekjednokładnościdlaho-
motetii
(i)zzadaniał.3.6,
(ii)zzadaniał.3.7.
1.3.10.
Wykazać,żeprzydowolnejhomotetiiw=az+b(a/=o,ł)istniejerodzinaspi-
rallogarytmicznych,zktórychkażdaprzyprzekształceniuprzechodzisamawsiebie.
1.4.Homografie.Własnościogólne
1.4.1.
Przedstawićhomografięw=(az+b)/(cz+d),gdziead–bc/=o,wpostaci
superpozycjiprzekształceńliniowychiodwrotności.
1.4.2.
Wykazać,żekrzywayijejobrazprzyprzekształceniuw=ł/zprzecinają
promieńwodzącypodtymsamymkątemα.
