Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.Liczbyzespolone.Homografie
1.4.3.
Dowieść,żehomografiazachowujekątypomiędzykrzywymi.
1.4.4.
Wykazać,żejeśli|a|/=r,toprzyprzekształceniuw=z–łokrągC(a,r)
przechodziwokrągośrodkua(|a|2–r2)–łipromieniuri
i|a|2–r2i
i
–ł.Zbadaćrównież
przypadek|a|=r.
1.4.5.
Dowieść,żeprzyprzekształceniuw=z–łdowolnyokrągprzechodzącyprzez
punkty∓łprzechodzisamwsiebie.
1.4.6.
Wykazać,żeprzyhomografiidowolnyokrągprzechodziwokrąglubprostą.
1.4.7.
Dowieść,żeprzekształceniew=z–ł,atakżedowolnahomografianiezmieniają
dwustosunkuczterechpunktów:
(zł,z2,z3,z4)=(zł,z2,z3):(zł,z2,z4)
(por.zadanieł.3.2).
1.4.8.
Korzystajączniezmienniczościdwustosunku,wyznaczyćhomografię,przyktórej
punktyz=a,b,cprzechodząodpowiedniowpunktyo,ł,∞.
1.4.9.
Zbadać,wcoprzechodziprzyprzekształceniuw=z–ł:
(i)rodzinaokręgów|z–a|=|a|,gdzieajestrzeczywiste,
(ii)rodzinaprostychrównoległychy=x+b,
(iii)rodzinaprostychy=kx,
(iv)rodzinaprostychprzechodzącychprzezpunktzo/=o,
(v)parabolay=x2.
1.4.10.
Wykazać,żedwustosunek(zł,z2,z3,z4)jestliczbąrzeczywistąwtedyitylko
wtedy,gdywszystkieczterypunktyzkleżąnajednymokręgulubnajednejprostej.
1.4.11.
Wykazać,żehomografietworzągrupęprzekształceń.
1.4.12.
Wykazać,żehomografiepostaciw=(mz+n)(pz+q)–ł,gdziem,n,p,qsą
liczbamicałkowitymi,takimiżemq–np=ł,stanowiągrupęprzekształceń.
1.5.Symetriawzględemokręgu
Punktyziz∗(z,z∗/=a)nazywamysymetrycznymiwzględemokręguC(a,r),jeślipunktz∗leżyna
półprostejopoczątkua,przechodzącejprzezpunktz,ijeśli|z–a|·|z∗–a|=r2.Niekiedypunktz∗
nazywamyodbiciempunktuzwzględemokręguC(a,r).
1.5.1.
Wykazać,żejeślipunktz∗jestsymetrycznydopunktuzwzględemokręgu
C(a,r),toz∗=a+
z–a
r2
.
1.5.2.
Wykazać,żeC(a,r)jestokręgiemApoloniuszadlapunktówz,z∗(por.zadanie
ł.ł.25).
