Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Podstawowestrukturyalgebraiczne
1.1.Działaniaiichwłasności
Definicja1.1.1.Działaniemdwuargumentowym(krótko,działaniem)wniepu-
stymzbiorzeXnazywamykażdąfunkcję
f:X×X→X.
DziałaniewzbiorzeX
Działaniefprzyporządkowujekażdejuporządkowanejparze(xjy)elementów
zbioruXjednoznaczniewyznaczonyelementf(xjy)zbioruX,nazywanywyni-
kiemdziałaniafnauporządkowanejparze(xjy)elementówzbioruX.Zwykle
Wynikdziałania
zamiastf(xjy)piszesięxfy,x∗y,x•y,x+y(lubużywasięjeszczeinnych
symbolinaoznaczeniedziałaniafijegowynikuf(xjy)).
Przykład101010DziałaniemwzbiorzeliczbrzeczywistychRjestfunkcja⋆:R×
R→Rokreślonazapomocązwykłegododawania,zwykłegoodejmowaniaizwykłego
mnożenialiczbrzeczywistychitaka,że
x⋆y=x+y12xy
dlakażdejpary(xjy)∈R×R.
(1.1)
Definicja1.1.2.Mówimy,żedziałanie∗wzbiorzeXjestprzemienne,gdy
x∗y=y∗x
dladowolnychdwóchelementówxiyzbioruX.Jeślinatomiastdladowolnych
trzechelementówxjyjz∈Xjest
x∗(y∗z)=(x∗y)∗zj
tomówimy,żedziałanie∗jestłącznewzbiorzeX.
Przemiennośćdziałania
Łącznośćdziałania
Przykład101020Zwykłedodawanieliczbrzeczywistychjestdziałaniemprzemiennym
iłącznym.Podobnie,zwykłemnożenieliczbrzeczywistychjestprzemienneiłączne.Na-
tomiastodejmowanieliczbrzeczywistychniejestaniprzemienne,aniłączne.Zprze-
miennościzwykłegododawaniaimnożenialiczbrzeczywistychwynika,żedziałanie
⋆:R×R→Rokreślonewzorem(1.1)jestprzemienne,bodladowolnychliczbxjy∈R
mamy
x⋆y=x+y12xy=y+x12yx=y⋆x.
Działanie⋆jesttakżełączne,bodladowolnychtrzechliczbxjyjz∈Rmamy
x⋆(y⋆z)=x⋆(y+z12yz)
=x+(y+z12yz)12x(y+z12yz)
=x+y+z12yz12xy12xz+4xyz
=(x+y12xy)+z12(x+y12xy)z
=(x+y12xy)⋆z
=(x⋆y)⋆z.
