Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
2.2.Sprzężenieliczbyzespolonej
2.Liczbyzespolone
Okazujesię,żetakżeprzywyznaczaniuilorazudwóchliczbzespolonychwpo-
stacikanonicznejnietrzebapamiętaćwzoru(2.16).Wzamiankorzystasięze
sprzężenialiczbyzespolonej.
Sprzężenieliczbyzespolonej
Definicja2.2.1.Sprzężeniemliczbyzespolonejz=a+bj(gdzieaibsąliczbami
rzeczywistymi)nazywamyliczbę
z=a−bj.
Przykładowo,sprzężeniemliczbyz=2+5jjestliczbaz=2−5j,czylimamy
2+5j=2−5j.
1b
O
y
b
✻
Rys.2.4
✯
❥
z=a+bj
z=a1bj
a
x
✲
Geometryczniezjestsymetrycznymodbiciemzwzględemosirzeczywistej(rys.
2.4).Innewłasnościsprzężeniazawieranastępnetwierdzenie(zob.takżetw.
2.3.1(a)).
Twierdzenie2.2.1.Jeśliziwsąliczbamizespolonymi,to:
(a)z+w=z+w,z−w=z−w;
(b)zw=zw,z/w=z/w(gdyw/=0);
(c)dlakażdejliczbycałkowitejnmamy(zn)=(z)
n
(z/=0,gdyn<0);
(d)zjestliczbąrzeczywistąwtedyitylkowtedy,gdyz=z.
Dodatkowo,jeśliz=a+bj(gdzieajb∈R),to
(e)z+z=2a,z−z=2bjizz=a2+b2.
Dowód0Udowodnimypierwszączęśćwłasności(b).Dowodypozostałychwłasności
sąrówniełatwe.Załóżmy,żez=a+bjiw=c+dj,gdzieajbjcidsąliczbami
rzeczywistymi.Wtedy
zw
=
(a+bj)(c+dj)=(a1bj)(c1dj)=(ac1bd)1(ad+bc)j
=
(ac1bd)+(ad+bc)j=(a+bj)(c+dj)=zw.I
Możemyterazwyznaczyćpostaćkanonicznąilorazudwóchliczbzespolonychbez
odwoływaniasiędowzoru(2.16).Wtymceluwystarczyskorzystaćztożsamości
Sposóbwyznaczania
ilorazuliczbzespolonych
w
z
=
w
z
w
w
=
ww
zw
(2.17)
orazzumiejętnościmnożenialiczbzespolonychidzielenialiczbyzespolonejprzez
liczbęrzeczywistą.
Przykład202010Wyznaczyćpostaćkanonicznąliczby
(1+5j)
(3+2j)
.
Wobecpoprzednichuwagmamy
1+5j
3+2j
=
(1+5j)(312j)
(3+2j)(312j)
=
312j+15j110j2
914j2
=
13+13j
13
=1+j.
