Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.Modułliczbyzespolonej
27
Ćwiczenie202010Każdąznastępującychliczbzapisać
wpostacikanonicznej:
10.
212j7+j101j25
j4+j10+j12
;
12.(1+2j
1+j)
2(2j
11j)
2
;
1.
5+3j
812j
;
4.
17115j
32+2j
;
7.
(713j)(317j)
(2+3j)(1+j)
;
11.
(d3+j)(1+jd3)
(1+j)2
;
13.
(1+j)4
1
+
(11j)4
1
.
2.
(1+j)2
8112j
;
5.(1+j
11j)
10
;
8.
1+j
11j
+
11j
1+j
;
Ćwiczenie202020Obliczyćnastępującesumy:
1.
Σ
k=1
100
j
k;
2.
Σ
k=5
55
j
k;
3.
Σ
k=0
11
(1+j)
k.
3.
j3(4+3j)
1
;
6.
(112j)3
(2+3j)
2
;
9.
3+j
31j
l
412j
4+2j
;
2.3.Modułliczbyzespolonej
Geometrycznąrelacjęmiędzyliczbamiziworazichiloczynemzw(orazilorazem
w)możnaopisaćzapomocąmodułuiargumentuliczbyzespolonej.
z
Definicja2.3.1.Modułem(lubwielkością)liczbyzespolonejz=a+bj(gdzie
ajb∈R)nazywamynieujemnąliczbęrzeczywistą
|z|=da2+b2.
(2.18)
Modułliczbyzespolonej
Modułliczbyz=a+bjjestodległościąpunktu(ajb)odpoczątkuukładu
współrzędnych.Ogólniej,dlaliczbzespolonychz1=a1+jb1iz2=a2+jb2
(gdziea1ja2jb1jb2∈R)moduł|z1−z2|jestodległościąpomiędzyz1iz2
(rys.2.5),bo|z1−z2|=|(a1+jb1)−(a2+jb2)|=
|(a1−a2)+j(b1−
b2)|=d(a1−a2)2+(b1−b2)2.Jeślizjestliczbąrzeczywistą,toz=a+0j(dla
pewnegoa∈R)i|z|=√a2,cojestwartościąbezwzględnązliczbya=z.Pojęcie
modułuliczbyzespolonejjestwięcuogólnieniempojęciawartościbezwzględnej.
Podstawowewłasnościmodułuprzedstawionowponiższymtwierdzeniu.
Twierdzenie2.3.1.Jeślizjw∈C,to:
(a)|z|=√zz,|z|=|z|=|−z|;
(b)|zw|=|z||w|,|
|
w
z
|
|=
|w|(w/=0);
|z|
(c)|z|>|Re(z)|>Re(z),|z|>|Im(z)|>Im(z);
(d)|
||z|−|w||
|<|z+w|<|z|+|w|.
Uwaga.Nierówność|z+w|<|z|+|w|(zczęści(d)powyższegotwierdzenia)
nazywasięnierównościątrójkątadlaliczbzespolonych.
z1
Rys.2.5
|z11z2|
|z|
z2
z
Dowód0Udowodnimytylkoczęść(d).Zczęści(a)1(c)orazztwierdzenia2.2.1kolejno
mamy
'z+w'
2
=(z+w)(z+w)=(z+w)(z+w)
=zz+zw+zw+ww='z'
2+zw+(zw)+'w'2
='z'
2+2Re(zw)+'w'2
Ś'z'
2+2'zw'+'w'2='z'2+2'z''w'+'w'2
='z'
2+2'z''w'+'w'2=('z'+'w')2
iztegowynika,że'z+w'Ś'z'+'w'.Dodatkowowobec(a)mamy
'z'='(z+w)+(1w)'Ś'z+w'+'1w'='z+w'+'w'j
czyli'z'1'w'Ś'z+w'.Ztychsamychpowodów'w'1'z'Ś'z+w'.Otrzymujemy
więc|
|'z'1'w'|
|Ś'z+w'itokończydowód(d).I
