Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.4.Postaćtrygonometrycznaliczbyzespolonej
29
Ćwiczenie203010Wyznaczyćmodułynastępujących
liczb:
1.
(1+jd3)(11jd3)
(113j)(1+3j)
;
3.(21j
2+jd6)
6
;
2.
(112j)
(1+2j)9
12
;
4.
1+jtgO
11jtgO
.
Ćwiczenie203020Rozwiązaćnastępującerównania,
wktórychzjestniewiadomąliczbązespoloną:
1.(1+j)z+2jz=1+5j;
2.(1+j)z=(213j)z;
3.zz+2z=19+4j;
4.'z'1z=1+2j;
5.z=z2;
6.(z1j)(3+2j)=z12+5j;
7.(312j)z+112j=2z;
8.(2+j)
2=(31j)(z11+j);
9.'z'+(1+j)z=4+7j;
10.'(2+j)z'1(31j)z=15j;
11.jz+(215j)z=3z+5+3j;
12.zz+2(z1z)=25112j.
Ćwiczenie203030Wyznaczyćizaznaczyćwpłaszczy-
źniezbiórwszystkichliczbzespolonychz,spełniających
warunek:
1.'z11+4j'=5;
2.'z+314j'Ś5;
3.'51j1z'23;
4.Re(z+jz)=1;
5.Re(z1jz)25;
6.Re(z)+Im(z)=1;
7.Re(
8.Im(
9.'z'<11Re(z);
z11
z+1)=0;
2+2j
z
)=1;
10.'z'+'z12j'=2;
11.'z+j'+'z1j'=4;
12.'z+1'=2'z11';
13.Re(z)ŚIm(z)Ś2Re(z);
14.2Ś'z11+j'Ś4;
15.'z11+2j'='z14';
16.'z+11j'Ś'z11+j'.
2.4.Postaćtrygonometrycznaliczbyzespolonej
Każdąróżnąodzeraliczbęzespolonąz=a+bjmożnaprzedstawićwpostaci
z=|z|(
|z|
a
+j
|z|)j
b
aponieważ
(
|z|)
a
2
+(
|z|)
b
2
=
a2+b2
a2
+
a2+b2
b2
=1j
(2.19)
więcjednazliczba
|z|ib
|z|jestsinusem,adrugakosinusemtejsamejliczby
rzeczywistejOidlategomożemyprzedstawićponiższądefinicję.
Definicja2.4.1.Argumentemliczbyzespolonejz=a+bj/=0nazywamykażdą
Argumentliczbyzespolonej
liczbęrzeczywistąO,oznaczanątakżesymbolemarg(z),dlaktórej
|z|
a
=cosOi
|z|
b
=sinO.
(2.20)
Geometrycznieargumentliczbyzjestmiarąkątaskierowanego,jakiwektor
−
Oz
→
tworzyzdodatnimkierunkiemosiOx(rys.2.9).Zokresowościsinusaikosinusa
wynika,żekażdaliczbazespolonaz/=0manieskończeniewieleargumentówO
ikażdedwaznichróżniąsięocałkowitąkrotnośćliczby2π.Spośródargumentów
Oliczbyzdokładniejedenspełnianierówności−π<O<π;nazywamygoargu-
mentemgłównymliczbyzioznaczamyprzezArg(z)a.Argumentkażdejliczby
aWniektórychpodręcznikachargumentgłównyliczbyzoznaczasięprzezarg(z),asym-
boluArg(z)używasięnaoznaczeniezbioruwszystkichargumentówliczbyz.
