Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział2
Liczbyzespolone
2.1.Liczbyzespoloneidziałanianaliczbachzespolonych
NiechCbędziezbioremwszystkichuporządkowanychpar(ajb)liczbrzeczywi-
stychaib,
C={(ajb):ajb∈R}.
Zapomocąrówności,zwykłegododawania(iodejmowania)orazzwykłegomno-
żenialiczbrzeczywistychdefiniujemyrówność,dodawanie⊕orazmnożenie⊗
wzbiorzeC.Jeślipary(ajb)i(cjd)sąelementamizbioruC,toprzyjmujemy,że
(ajb)=(cjd)⇔a=cib=dj
(ajb)⊕(cjd)=(a+cjb+d)j
(ajb)⊗(cjd)=(ac−bdjad+bc).
(2.1)
Równośćliczbzespolonych
(2.2)
Sumaliczbzespolonych
(2.3)
Iloczynliczbzespolonych
Definicja2.1.1.ElementyzbioruC(zrównością(2.1)orazdziałaniamidoda-
waniaimnożeniaokreślonymiwzorami(2.2)i(2.3))nazywamyliczbamizespo-
Liczbyzespolone
lonymi.
Jeśliz=(ajb)jestliczbązespoloną,toliczbyrzeczywisteaibnazywamy,
odpowiednio,częściąrzeczywistąiczęściąurojonąliczbyzipiszemy
Re(z)=a
oraz
Im(z)=b.
Wyżejprzedstawionysposóbrozumienialiczbzespolonychjakoparliczbrze-
czywistychidziałań(2.2)oraz(2.3)zaproponowałw1833rokuirlandzkimate-
matykW.R.Hamilton.Zobaczymyteraz,jakzwłasnościzwykłegododawania
izwykłegomnożenialiczbrzeczywistych(zob.prz.1.3.4idef.1.3.5)wynika,
żezbiórliczbzespolonychzwyżejokreślonymdodawaniemimnożeniemliczb
zespolonychjestciałem.
Twierdzenie2.1.1.ZbiórCzdziałaniamidodawaniaimnożeniaokreślonymi
C–ciałoliczbzespolonych
wzorami(2.2)i(2.3)jestciałem,więcdziałaniatemająnastępującewłasności:
(a)∀z,w∈Cz⊕w=w⊕z;
(przemiennośćdodawania)
(b)∀z,w,t∈Cz⊕(w⊕t)=(z⊕w)⊕t;
(łącznośćdodawania)
(c)∃z
0∈C∀z∈Cz⊕zo=z;
(z0=(0j0)–zerozespolone)
(d)∀z∈C∃1z∈Cz⊕(−z)=zo;(1z=(1aj1b)–liczbaprzeciwnadoz=(ajb))
(e)∀z,w∈Cz⊗w=w⊗z;
(przemiennośćmnożenia)
(f)∀z,w,t∈Cz⊗(w⊗t)=(z⊗w)⊗t;
(łącznośćmnożenia)
(g)∃z
1∈C∀z∈Cz⊗z1=z;
(z1=(1j0)–jedynkazespolona)
(h)∀z∈C1{z
0}∃z−1∈Cz⊗z
11=z1;(z11=(a
a2+b2j1b
a2+b2),gdyz=(ajb)/=z0)
(i)∀z,w,t∈Cz⊗(w⊕t)=(z⊗w)⊕(z⊗t).(rozdzielnośćdziałania⊗względem⊕)
