Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
1.Podstawowestrukturyalgebraiczne
Ćwiczenie103010Udowodnić,żejeślixjestdzielnikiem
zerawpierścieniuprzemiennymPiy∈P,toxy=0
lubxyjestdzielnikiemzera.
Ćwiczenie103020Udowodnić,żejeśliniezerowyele-
mentxpierścieniaPniejestdzielnikiemzeraidlaele-
mentówyjz∈Pmamyxy=xz,toy=z.
Ćwiczenie103030Działania⊕i⊗wzbiorzeliczbrze-
czywistychRsąokreślonezapomocązwykłegododa-
waniaizwykłegomnożenialiczbrzeczywistychidla
dowolnychxjy∈Rmamyx⊕y=x+y+1oraz
x⊗y=xy+x+y.Wykazać,żesystem(Rj⊕j⊗)jest
ciałem.
Ćwiczenie103040Udowodnić,żeciałoniemadzielni-
kówzera.
Ćwiczenie103050NiechPbędzieskończonymiprze-
miennympierścieniemzjedynką.Udowodnić,żealboP
madzielnikzera,alboPjestciałem.
Ćwiczenie103060WzbiorzeLwszystkichnieskończo-
nychciągówrzeczywistychokreślamydodawanie⊕oraz
mnożenie⊗wnastępującysposób:
(x1jx2j...)⊕(x1jy2j...)
=
(x1+y1jx2+y2j...)j
(x1jx2j...)⊗(x1jy2j...)
=
(x1y1jx2y2j...).
Wykazać,że(Lj⊕j⊗)jestpierścienieminiejestciałem.
1.4.Ćwiczeniapodsumowujące
Ćwiczenie104010NiechXbędziezbioremmającymco
najmniejtrzyelementy.Wskazaćdwawzajemniejedno-
znaczneodwzorowaniafigzbioruXnasiebie,takieże
f◦g/=g◦f.
Ćwiczenie104020IleelementówmapodgrupaH=
{4n:n∈Z}grupyZ131{0}zmnożeniemmodulo13?
Ćwiczenie104030Niechabędzieustalonymelementem
grupyG.Pokazać,żezbiórH={x∈G:ax=xa}jest
podgrupągrupyG.
Ćwiczenie104040NiechGbędziegrupą.Udowodnić,
żezbiórH={x∈G:xg=gxdlakażdegog∈G}j
zwanycentrumgrupyG,jestpodgrupągrupyG.
Ćwiczenie104050NiechHbędziepodgrupągrupyG
iniechabędzieustalonymelementemgrupyG.Udo-
wodnić,żezbiórF={aha
11:h∈H}jestpodgrupą
grupyG.
Ćwiczenie104060NiechGbędziegrupąprzemienną.
Udowodnić,żezbiórH={x∈G:x
11=x}jestpod-
grupągrupyG.
Ćwiczenie104070Wykazać,żejeślia1j...jansąele-
mentamigrupy,to(a1l...lan)
11=a11
n
l...la
11
1
.
Ćwiczenie104080Wykazać,żegrupaGjestabelowa
wtedyitylkowtedy,gdy(ab)
2=a2b2dladowolnych
elementówaibzgrupyG.
Ćwiczenie104090Wykazać,żejeśliGjestgrupą,
wktóreja2=edlakażdegoa∈G,toGjestgrupą
abelową.
Ćwiczenie1040100Wykazać,żejeśliaibsąelemen-
tamigrupyijeślinjestliczbąnaturalną,to(a
11ba)n=
a11bna.
Ćwiczenie1040110Udowodnić,żejeśliH1iH2sąpod-
grupamigrupyG,totakżeichczęśćwspólnaH1∩H2
jestpodgrupągrupyG.
Ćwiczenie1040120Udowodnić,żekażdapodgrupa
grupycyklicznejjestcykliczna.
Ćwiczenie1040130Rzędemelementuxwskończonej
grupienazywamynajmniejsząliczbęnaturalnąk,dla
którejxk=e.Udowodnić,żewskończonejgrupierząd
elementuxjestidentycznyzrzędemelementuodwrot-
negox11.
Ćwiczenie1040140Udowodnić,żedladowolnychele-
mentówaibgrupyG(zdziałaniem◦)równaniaa◦x=b
iy◦a=bmająjednoznacznerozwiązaniawgru-
pieG,czyliistniejąjednoznaczniewyznaczoneelementy
xjy∈G,takieżea◦x=biy◦a=b.
Ćwiczenie1040150Udowodnić,żeskończonyiniepusty
podzbiórHgrupyGjestjejpodgrupąwtedyitylko
wtedy,gdyab∈Hdladowolnychdwóchelementówa
ibzezbioruH.
Ćwiczenie1040160Niech◦będziedziałaniemdwuar-
gumentowymwniepustymzbiorzeG.Udowodnić,że
(Gj◦)jestgrupąwtedyitylkowtedy,gdyjednocześnie
spełnionesąwarunki:(a)a◦(b◦c)=(a◦b)◦cdla
każdychajbjc∈G;(b)równaniaa◦x=biy◦a=b
mająrozwiązaniawzbiorzeGdladowolnychajb∈G.
Ćwiczenie1040170Pokazać,żejeśli◦jestdziałaniem
łącznymwskończonymzbiorzeG,topara(Gj◦)jest
grupąwtedyitylkowtedy,gdydladowolnychtrzech
elementówajbjczezbioruGspełnionesąwarunki:(a)
jeślia◦b=a◦c,tob=c;(b)jeślia◦b=c◦b,toa=c.
