Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Pierścieńiciało
jestpodgrupągrupyG.Podgrupatazwyklejestoznaczanasymbolem(a>inazywana
podgrupącyklicznągrupyGgenerowanąprzezelementa.SamągrupęGnazywamy
grupącykliczną,gdyG=(a>dlapewnegoa∈G.Wtakimprzypadkumówimyteż,
Grupacykliczna
żeelementajestgeneratoremgrupyG.
Przykładowo,grupaliczbcałkowitychZjestgrupącyklicznązewzględunadoda-
wanieijejjedynymigeneratoramisąliczby1i11,czyliZ=(1>orazZ=(11>.
WgrupieZ71{0}zmnożeniemmodulo7podgrupamicyklicznymisą:(1>={1},
(2>=(4>={1j2j4},(3>=(5>={1j...j6}=Z71{0}i(6>={1j6}.
17
Ćwiczenie102010Obliczyćnastępującewielkości:
1.10⊕1211;
3.5⊕65;
5.7⊗108;
2.8⊕1110;
4.13⊗1411;
6.13⊗1513.
Ćwiczenie102050WzbiorzeR×(R1{0})określone
jestdziałanie⊗,gdzie
(xjy)⊗(x
ijyi)=(x+xiyjyyi).
Ćwiczenie102020Wyznaczyćwszystkierozwiązaniax
zkażdegoznastępującychrównań:
1.x⊕148=3wZ14;
4.5⊗6x=3wZ6;
(a)Czydziałanie⊗jestprzemienne?(b)Wykazać,że
(R×(R1{0})j⊗)jestgrupą.(c)CzyzbiórS={(0jy):
y∈R1{0}}zdziałaniem⊗jestpodgrupągrupy(R×
2.7⊕12x=2wZ12;
5.2⊗7x=3wZ7;
(R1{0})j⊗)?
3.x⊕7x=4wZ7;
6.5⊗12x=1wZ12.
Ćwiczenie102060Wykazać,żepodzbiórH={2j4j
Ćwiczenie102030Udowodnić,żedladowolnychliczb
6j8}zbioruZ10jestgrupąprzemiennązewzględuna
xjyjz∈Znmamy
mnożeniemodulo10.
x⊗n(y⊗nz)=(x⊗ny)⊗nz.
Ćwiczenie102070CzyzbiórH={1j4j7j13}zmno-
żeniemmodulo15tworzygrupę?
Ćwiczenie102040WzbiorzeR+={x∈R:x>0}
danejestdziałanie◦,gdziedladowolnychxjy∈R+
Ćwiczenie102080(a)WgrupieZ96zdodawaniemmo-
jest
dulo96wskazaćpodgrupęmającączteryelementy.(b)
x◦y=x
lny.
Czygrupa(Z96j⊕96)mapodgrupętrzyelementową?
(a)Czydziałanie◦jestprzemienne?(b)Czypara
Ćwiczenie102090Pokazać,żezbiórG={1j3j5j9j
(R+j◦)jestgrupą?
11j13}zmnożeniemmodulo14jestgrupącykliczną.
1.3.Pierścieńiciało
Definicja1.3.1.Niech+i◦będądziałaniamiwniepustymzbiorzeP;dzia-
łaniatebędziemynazywać,odpowiednio,dodawaniemimnożeniemwzbiorze
P.Mówimy,żesystemalgebraiczny(Pj+j◦)(albo,krócej,żezbiórP)jestpier-
ścieniem,gdy:
(a)Pjestgrupąprzemiennązewzględunadodawanie+;
(b)mnożenie◦jestłącznewzbiorzeP;
(c)mnożenie◦jestlewo-iprawostronnierozdzielnewzględemdodawania,czyli
dladowolnychelementówxjyjz∈Pmamy
x◦(y+z)=x◦y+x◦z
i(x+y)◦z=x◦z+y◦z.
OpierścieniuPmówimy,żejestpierścieniemprzemiennym,gdy
(d)
x◦y=y◦x
dladowolnychelementówxiyzezbioruP.
Pierścień
Pierścieńprzemienny
Zwarunku(a)powyższejdefinicjiorazzdefinicjigrupy(def.1.2.1)iztwierdzenia
1.1.1wynika,żepierścieńPmadokładniejedenelementneutralnyzewzględu
nadziałaniedodawania.Elementtenzwykleoznaczamysymbolem0inazywamy
0–zeropierścienia
zerempierścieniaP.Zpodobnychpowodówdlakażdegox∈Pistniejedokładnie
jedenelement˜
x∈P,takiżex+˜
x=0.Elementtenoznaczamyprzez−x
inazywamyelementemprzeciwnymdox.Prostewłasnościzeraielementów
1x–elementprzeciwny
przeciwnychprzedstawionownastępnymtwierdzeniu.
doxwpierścieniu
