Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
1.Podstawowestrukturyalgebraiczne
Ćwiczenie101010WzbiorzeliczbcałkowitychZdane
(a)Wskazaćelementneutralnydziałania∗.(b)Które
jestdziałanie∗,gdziex∗y=x+'y'dlaxjy∈Z.
elementy(xjy)zbioruR×Rsąodwracalnezewzględu
(a)Zbadaćprzemiennośćiłącznośćdziałania∗.(b)Czy
nadziałanie∗?(c)Czydziałanie∗jestłączne?
wzbiorzeZistniejeelementneutralnydziałania∗?
Ćwiczenie101040Zbadaćprzemienność,łącznośćiist-
Ćwiczenie101020WzbiorzeliczbrzeczywistychR
nienieelementuneutralnegodladziałania∗,gdy:
określonejestzwykłedodawanie+izwykłemnożenie
lliczbrzeczywistychorazdziałanie∗,gdziea∗b=
1.x∗y=x1ywzbiorzeR;
a+b1alb.Sprawdzić,czydziałanie∗jest:(a)łączne;(b)
2.x∗y='x1y'wzbiorzeR;
rozdzielnewzględemdodawania+;(c)rozdzielnewzglę-
3.x∗y=xy+1wzbiorzeR;
demmnożenial.
4.x∗y=max{xjy}wzbiorzeR;
Ćwiczenie101030WzbiorzeR×Rdanejestdziałanie
5.x∗y=xywzbiorzeR+;
∗,takieże
(x1jy1)∗(x2jy2)=(x1x2jy1+y2).
6.x∗y=2xywzbiorzeR+.
1.2.Grupaijejpodgrupy
Grupa
Grupaprzemienna
Definicja1.2.1.Niech◦będziedziałaniemwniepustymzbiorzeG.Parę(Gj◦),
czylisystemalgebraiczny(Gj◦),nazywamygrupą,gdydziałanie◦manastępu-
jącetrzywłasności:
(a)działanie◦jestłącznewzbiorzeG,czylidladowolnychelementówx,yiz
zezbioruGjest
x◦(y◦z)=(x◦y)◦z;
(b)wzbiorzeGistniejeelementneutralnyedziałania◦,czylitakielement,że
x◦e=e◦x=x
dlakażdegoxzezbioruG;
(c)każdyelementzbioruGjestodwracalnywzględemdziałania◦,czylidla
każdegox∈Gistniejeelementx11∈G,takiże
x◦x11=x11◦x=e.
Jeśli(Gj◦)jestgrupąidziałanie◦jestprzemiennewzbiorzeG,tomówimy,że
grupa(Gj◦)jestprzemiennalubabelowa.
Wnaszychrozważaniachgrupę(Gj◦)izbiórjejelementówGoznaczaćbędziemy
jednymitymsamymsymbolem(zwykleliterąG).Niepowinnotoprowadzićdo
nieporozumień.Analogiczniebędziemyczynićwprzypadkuinnychsystemów
algebraicznych.
Przykład102010ZbiórliczbrzeczywistychRzezwykłymdodawaniem+tworzygrupę
przemienną(Rj+).Takżepara(Zj+),gdzieZjestzbioremliczbcałkowitych,jest
grupąprzemienną.Struktura(Zjl),gdzieljestzwykłymmnożeniem,niejestgrupą
(boprawieżadenelementzbioruZniejestodwracalnyzewzględunamnożeniel).
ZbiórliczbwymiernychQzezwykłymmnożeniem,czylipara(Qjl),takżeniejest
grupą,boliczba0niejestelementemodwracalnym.Natomiastpara(Q1{0}jl)(jak
ipara(R1{0}jl))jestjużgrupąijesttogrupaprzemienna.
Przykład102020NiechXbędzieniepustymzbioreminiechF=F(X)będziezbiorem
wszystkichbijekcjinazbiorzeX,czylizbioremwszystkichodwzorowańwzajemnie
jednoznacznychzbioruXnasiebie.Jeślif:X→Xig:X→Xsąbijekcjami,toich
złożenieg◦f(będącefunkcjąg◦f:X→Xokreślonąwzorem(g◦f)(x)=g(f(x)))
