Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.4.Postaćtrygonometrycznaliczbyzespolonej
Innysposób:Ponieważ
z=1j(cosO+jsinO)oraz1j=cos(1
π
2)+jsin(1
π
2)j
więcznowuotrzymujemy
z
=
(cos(1
π
2)+jsin(1
π
2))(cosO+jsinO)
=
cos(O1
π
2)+jsin(O1
π
2).
Przykład204080Wyznaczyćmodułiargumentliczbyz=1+cosϕ+jsinϕ,gdzie
ϕ∈(1π;π>.
Ztożsamościtrygonometrycznych1+cosϕ=2cos2p
2isinϕ=2sin
p
2cos
p
2wynika,
żemamy
z=1+cosϕ+jsinϕ=2cos
2ϕ
2
+j2sin
ϕ
2
cos
ϕ
2
=2cos
ϕ
2(cos
ϕ
2
+jsin
ϕ
2).
Stądjużwnioskujemy,że'z'='2cos
p
2'=2cos
p
2iarg(z)=
p
2.
33
Ćwiczenie204020Każdąznastępującychliczbzapisać
wpostacitrygonometrycznej:
1.cosx1jsinx;
8.11cosx1jsinx;
Ćwiczenie204040Każdąznastępującychliczbzapisać
wpostacikanonicznej:
9.1+cos2x+jsin2x;
1.(1+jd3
2
)
20
;
10.
(j1d3)27
(11j)
24
;
4.1+jtgx;
10.(11jd3)(1cosx+jsinx);
11.
(5+5j)(31j)
2+j
;
2.(d3
3.(d3+j
2
11j)
+
2)
j
12
60
;
;
11.(d2+jd2
12.
(11+jd3)4n
(11j)8n
1+jd3)
n
;
;
5.11jctgx;
6.j(cosx+jsinx);
12.
cosx+jsinx
1+jtgx
;
Ćwiczenie204030Każdąznastępującychliczbzapisać
7.11cosx+jsinx;
13.d6+d2+j(d61d2).
4.(1+jd3
d31j)
18
;
13.(11
d2
+j
d2)
d3
18
;
wpostacikanonicznej:
5.
(j1d3)24
(11j)12
;
14.
210(1
1
d2
j1
d6
2)
24
;
1.30(cosπ+jsinπ)(cos
3π
4+jsin3π
4);
2.6(cos
π
6+jsinπ
6)(cos
5π
6+jsin5π
6);
6.
(11j)
(d3+j)24
11(1+j)23
;
15.((11jd3)j
(1+j)(111j))
300
;
3.3(cos42
0+jsin420)(cos1680+jsin1680);
7.
(1+j)
(1+jd3)100
200j102
;
16.
(1+j)
(1+jd3)150
50(j1d3)100
;
4.(cos
π
9+jsinπ
9)
8(cosπ
91jsinπ
9)
10
;
5.(cos
π
6+jsinπ
6)
12(cosπ
12+jsinπ
12)
20
;
8.(d21jd6
11j
)
12
;
17.(sinx+jcosx
sinx1jcosx)
n
;
6.(1+cos
π
3+jsinπ
3)
12(1+cosπ
4+jsinπ
4)
24
;
7.
jd8(cos1470+jsin1470)
d2(cos570+jsin570)
.
9.(1+jd3
d2+jd2)
100
;
18.(1+cosx+jsinx
sinx1jcosx
)
n
.
2.sinx+jcosx;
3.tgx+j;
KorzystajączewzorówdeMoivre’aiNewtona,funkcjetrygonometrycznecosnx
isinnxmożnazapisaćzapomocąpotęgfunkcjicosxisinx.
Przykład204090Funkcjecos3xisin3xwyrazićzapomocąpotęgfunkcjicosxisinx.
Następnietg3xzapisaćzapomocąpotęgtgx.
WzórNewtona:
(a+b)
n=
k=0
Σ
n
(n
k)an1kbk
ZewzorudeMoivre’amamy(cosx+jsinx)
3=cos3x+jsin3x.Jednocześniezewzoru
Newtona
(cosx+jsinx)
3
=
cos3x+3jcos2xsinx13cosxsin2x1jsin3x
=
(cos
3x13cosxsin2x)+j(3cos2xsinx1sin3x).
