Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§5.Wyprowadzenierównańmakroskopowych13
Wzór(4.4)zastosowanydocałki(4.3)daje
dS
dt
=
1
2∫w!ff!
1ln
f!f!
ff
1
1
d4rdV=
1
2∫w!ff1xlnxd4rdV3
gdziewprowadziliśmyoznaczeniex=f!f!
1/ff
1.Odejmującodtejcałkipołowęcałki
(4.5),przepiszemytorównaniewpostaci
dS
dt
=
1
2∫w!ff1(xlnx–x+1)d4rdV.
(4.6)
Funkcjastojącawnawiasiewwyrażeniupodcałkowymjestdlawszystkichx>0nie-
ujemna;wynosizerodlax=1irośniepoobustronachtegopunktu.Zdefinicjidodatnie
sątakżewartościfunkcjiw,fif
1znajdującychsiępodznakiemcałki.Wtensposób
otrzymujemyposzukiwanywynik
dS
dt
≥03
(4.7)
którywyrażazasadęwzrostuentropii(równośćzachodzijedyniewstanierównowagi)1).
Zwróćmyuwagęnafakt,żedziękinieujemnościwyrażeniapodcałkowegowewzorze
(4.6)(atymsamymrównieżwewzorze(4.3))dodatniajestnietylkopełnacałkawzglę-
demriV,alerównieżcałkaliczonawyłączniewzględemr.Innymisłowy,zderzenia
powodująwzrostentropiigazuwkażdymelemenciejegoobjętości.Nieznaczytooczy-
wiście,żeentropiazawszerośniewkażdymelemencieobjętości,ponieważmożebyć
onaprzenoszonazjednegomiejscawdrugiedziękiswobodnemuruchowicząsteczek.
§5.Wyprowadzenierównańmakroskopowych
KinetycznerównanieBoltzmannadajenammikroskopowyopisewolucjigazu.Po-
każemyteraz,wjakisposóbwyprowadzićzrównaniakinetycznegozwyczajnerównania
hydrodynamiki,któredająmniejszczegółowy,bomakroskopowyopistejewolucji.Taki
opismożemyzastosowaćwtedy,kiedymakroskopowewłasnościgazu(jegotemperatura,
gęstość,prędkośćitp.)zmieniająsiędostateczniepowoliwjegoobjętości:odległośćL,
naktórejzachodziistotnazmianatychwielkości,powinnabyćwielkawporównaniuze
średniądrogąswobodnącząsteczekl.
Mówiliśmyjuż,żecałka
N(t3r)=∫f(t3r3r)dr
(5.1)
jestprzestrzennągęstościąrozkładucząsteczek;iloczynp=mNodpowiedniojest
gęstościąmasycząsteczekgazu.Prędkośćmakroskopowegoruchugazuoznaczymy
1)Dowódzasadywzrostuentropii,wykorzystującyrównaniekinetyczne,zostałpodanyprzezBoltz-
mannaibyłotopierwszemikroskopoweuzasadnienietejzasady.Wprzypadkugazówzasadataczęsto
jestnazywanatwierdzeniemH(zgodniezoznaczeniem–HużytymdlaoznaczeniaentropiiprzezBoltz-
manna).
