Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Przykładyzjawiskprowadzącychdorównar
nróżniczkowych
17
rzeczywistą(poto,żebywdalszychrozważaniachuznar
cN(t)zagładkąfunkcję
zmiennejrzeczywistejt).NiechterazN(t)będziewielkor
sciąpopulacjiwchwilit,
aN(t+∆t)wchwilit+∆t.RóżnicaN(t+∆t)−N(t)jestprzyrostempopula-
cjiwprzedzialeczasu∆t.Abywyznaczyr
ctenprzyrost,zauważmy,żecoτminut
następujepodziałokrer
slonejbakterii,natomiastco
N(t)minutnastępujepodział
τ
jakiejr
sbakteriizpopulacjiN(t)bakterii.Oznaczato,żewczasie∆tnastąpi
τ/N(t)
∆t
1
1
τ
N(t)∆t
(1.5)
podziałów.Ponieważwkażdympodzialezjednejbakteriitworzysiękbakterii,
więc
N(t+∆t)−N(t)1
k
τ
N(t)∆t.
(1.6)
Jer
slizałożymy,żeN(t)jestfunkcjąróżniczkowalną,tobędziemymoglidokonar
c
przejr
sciagranicznego∆t→0.Otrzymamywtedyrównanie
N(t)1
˙
k
τ
N(t),
(1.7)
któreopisujeprawowzrostupopulacjibakterii.Abyporównar
ctoprawozwy-
nikiemotrzymanymzapomocąrównaniaróżnicowego(1.3),dokonajmypodsta-
wienia
N(t)1e
τtL(t).
k
(1.8)
Powstawieniudorównaniaotrzymujemy
e
τt˙
k
L(t)10⇒
L(t)10⇒L(t)1c.
˙
Oznaczato,żefunkcjaN(t)jestopisanarównaniem
N(t)1ce
k
τt,
aprzyjmując,żewchwilit10gęstor
sciąpopulacjijestNo,mamy
N(t)1Noe
k
τt.
(1.9)
(1.10)
Możemyterazporównar
cwynikotrzymanywmodeluróżniczkowym(1.7)zwy-
nikiemmodeluróżnicowego(1.3).Wtymceluwewzorze(1.10)podstawiamy
t1źτiotrzymujemy
N(źτ)1ekiNo.
(1.11)
Wyrażenietopowinnobyr
cbliskiewzorowi(1.4).Itakjestrzeczywir
scie,bokorzy-
stajączdefinicjifunkcjiwykładniczej
ex1lim
n→∞(1+
x
n)
n
,
