Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Aksjomatycznateorialiczbrzeczywistych
21
dlawszystkichx∈A.Każdaliczbazposiadającapowyższąwłasnośćna-
zywasięograniczeniemdolnymzbioruA.OgraniczeniedolnezozbioruA
nazywamykresemdolnymtegozbioru,jeślikażdeograniczeniedolnezbioru
Ajestmniejszelubrównezo.KresdolnyzbioruAoznaczamyprzezinfA.
ZbiórA⊂Rnazywamyograniczonym,jeślijestonograniczonyzdołuiz
góry.Prawdziwejestnastępującetwierdzenie:
Twierdzenie1.10.JeśliA⊂Rjestzbioremniepustymiograniczonymz
dołu,toAmakresdolnyorazzachodzirównośćinfA=−sup(−A),gdzie
−A={−x:x∈A}.
Dowód.Zaksjomatu(14)wynika,żezbiór−Ajestograniczonyzgóry.
Istotnie,niechz<xdlakażdegox∈A.Wtedynamocy(14)mamy
z−x<0idalej,stosującponownie(14),otrzymujemy−x<−zdlakażdego
x∈A,cooznaczaograniczonośćzgóryzbioru−A.Namocyaksjomatu
kresugórnegoistniejeliczbaz1=sup(−A).Pokażemy,że−z1=infA.
Dlakażdegox∈Amamy−x<z1,skądwynika,żex>−z1.Zatem
−z1jestograniczeniemdolnymzbioruA.Niechybędziedowolnymograni-
czeniemdolnymzbioruA.Wówczas−yjestograniczeniemgórnymzbioru
−Ainamocydefinicji−y>sup(−A)=z1,awięcy<−z1.
Możnarównieżudowodnićnastępującetwierdzenie:
Twierdzenie1.11.NiechA,BbędąniepustymipodzbioramizbioruR.
(a)JeślizbiórAjestograniczony,tomakresgórnyidolny.
(b)JeślizbioryA,BsąograniczonezgóryiA⊂B,tosupA<supB.
(c)JeślizbioryA,BsąograniczonezdołuiA⊂B,toinfB<infA.
(d)Jeślidladowolnychx∈Aiy∈Bspełnionajestnierównośćx<y,
tozbiórAjestograniczonyzgóry,zbiórBjestograniczonyzdołuoraz
supA<infB.
ŁatwydowódtegotwierdzeniapozostawiamyCzytelnikowijakoćwicze-
nie.
Przykładamizbiorówograniczonychsąprzedziały.Dlaa<bzbiórwszyst-
kichliczbrzeczywistychx,spełniającychnierównościa<x<b,nazywamy
przedziałemdomkniętymioznaczamyprzez[a,b].Zbiórwszystkichliczb
rzeczywistychxspełniającychnierównościa<x<bnazywamyprzedzia-
łemotwartymioznaczamygoprzez(a,b).Przedziałdomkniętyzawieraswe
końce,podczasgdyotwartynie.Jednakżemamy
sup[a,b]=sup(a,b)=b,
inf[a,b]=inf(a,b)=a.
