Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Rozdział1.Elementyteoriizbiorów
Wanalogicznysposóbdowodzisię,żeistniejeliczbacałkowitaq,dlaktórej
qx<y.Ponadtojestjasne,żeq<p.Badająckolejnopary
(q,q+1),(q+1,q+2),...,(p−1,p),
znajdujemytaką(n−1,n),że(n−1)x<y<nx.
Wszczególnościdlax=1zzasadyArchimedesaotrzymujemy,żedla
każdegoy∈Ristniejeliczbacałkowitantaka,żen−1<y<n.Liczba
n−1nazywasięwówczasczęściącałkowitąliczbyy;oznaczamyjąprzez
[y].Natomiastliczbay−[y]nazywasięczęściąułamkowąliczbyyijest
oznaczanaprzez(y).Zatemkażdaliczbajestsumąswoichczęścicałkowitej
iułamkowej,y=[y]+(y).
Zastępującdodawaniemnożeniemwpowyższymtwierdzeniuotrzymu-
jemynastępującąmultyplikatywnąwersjęzasadyArchimedesa.
Twierdzenie1.15.Jeślix>1iy>0,toistniejewykładnikntaki,że
xn-1<y<xn.
WykażemyterazszeregwnioskówwynikającychzzasadyArchimedesa.
Wniosek1.16.Dladowolnejliczbys>0istniejeliczbanaturalnantaka,
że0<
n
1
<s.
Dowód.NamocyzasadyArchimedesaistniejen∈Ztakie,że1<sn.
Ponieważ0<1,więcrównieżn>0.Stąd0<
n
1
<s.
Wniosek1.17.Jeślix>0ix<
n
1
dlakażdegon∈N,tox=0.
Dowód.Relacja0<xjestniemożliwanamocywniosku1.16.
Wniosek1.18.Dladowolnychliczbrzeczywistycha,btakich,żea<b,
istniejeliczbawymiernar,dlaktóreja<r<b.
Dowód.Zwniosku1.16wynika,że0<
n
1
<b−adlapewnegon.Na
mocyzasadyArchimedesaistniejetakaliczbacałkowitam,że
m−1
n
<a<
m
n
.
Wówczas
m
n
=
m−1
n
+
1
n
<a+(b−a)=b
