Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Rachunekkwantyfikatorów
giczną1dlax14orazwartośćlogiczną0dlax/14.Jeśliza
dziedzinęprzyjmiemyliczbynieparzyste,towartośćtejfunkcji
zdaniowejjestzawszerówna0(zdaniejestfałszywedlakaż-
degox).
Niech^
f(x)orazV
f(x)oznaczająodpowiedniozdania
x
x
„dlakażdegoxjestspełnionef(x)”oraz„istniejetakiex,że
jestspełnionef(x)”.Słowa„jestspełnione”,pomijanezwykle
wtakichzdaniach,uzmysławiająfakt,żechodzioteelementyx
zdziedziny,dlaktórychwyrażenief(x)jestzdaniemprawdzi-
wym.Symbole^orazVnazywamyodpowiedniokwantyfika-
toremogólnymiszczegółowym(egzystencjalnym)(1).
Zauważmy,żepoprzedzeniefunkcjizdaniowejkwantyfikato-
rem,takjakpodstawieniezamiastzmiennejkonkretnegoele-
mentuzdziedziny,dajewyrażenie,którejestprawdziwelubfał-
szywe,czylizdanie.Naprzykład,jeślijakodziedzinęfunkcji
zdaniowejx+115przyjmiemyzbiórliczbrzeczywistych,to
wyrażenieV
x+115jestzdaniemprawdziwym,a^
x+115
x
x
jestzdaniemfałszywym.Ograniczającsięnatomiastdozbioru
liczbnieparzystychobatezdaniasąfałszywe.Zprzykładuwi-
dać,żeprzyjętyzapismożeprowadzićdonieporozumień.Stąd
teżbędziemyużywalizapisudokładniejszego,uwzględniającego
podaniedziedziny,postaci^
f(x)orazV
f(x).
xEX
xEX
Zezdańutworzonychzfunkcjizdaniowychikwantyfikatorów
możemybudować(jakwspomnieliśmywcześniej)zapomocąal-
ternatywy,koniunkcjiiinnychoperacjiwyrażenia(zdania)zło-
żone,anastępniebadaćichwartośćlogiczną.Podobniejakwra-
chunkuzdań,niektóreztychwyrażeńmająwartośćlogiczną1
niezależnieodtego,czyzdania,zktórychsąutworzonetewy-
rażenia,sąprawdziweczyfałszywe.Tegotypuwyrażenianazy-
wamyprawamirachunkukwantyfikatorów.Najprostszymiznich
sąprawawyrażającezwiązeknegacjizezdaniamiutworzonymi
zapomocąkwantyfikatorów:
107
∼(^
xEX
f(x))⇔V
xEX
(∼f(x))7
108
∼(V
xEX
f(x))⇔^
xEX
(∼f(x));
(1)Kwantyfikatoryogólnyiszczegółowyoznaczasiętakżesymbolami
∀i∃(odwróconepierwszeliterysłówangielskich„all”i„exist”).Używa
sięteżsymbolu∨!naoznaczeniezwrotu„istniejedokładniejeden”.
15
