Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Rachunekkwantyfikatorów
Dowód(1.12)przeprowadzimyniewprost,wykorzystując
wykazanąjużimplikację(1.11).Korzystająckolejnoz(1.4),
(1.8),(1.11),(1.4)i(1.8),otrzymujemynastępującyciągimpli-
kacji:
∼(V
f(x)∧V
g(x))⇒∼V
f(x)∨∼V
g(x)
xEX
xEX
xEX
xEX
⇒^
xEX
(∼f(x))∨^
xEX
(∼g(x))
⇒^
xEX
(∼f(x)∨∼g(x))
⇒^
xEX
∼(f(x)∧g(x))
⇒∼V
xEX
(f(x)∧g(x)).
Implikacjaodwrotnado(1.11)jestfałszywa:wyrażenie
^
(f(x)∨g(x))nieimplikuje(^
f(x)∨^
g(x)).Abysię
xEX
xEX
xEX
otymprzekonać,zauważmy,żezdanie„Każdyjestsynemlub
córką”jestprawdziwe,azdania„Każdyjestsynem”i„Każdy
jestcórką”sąfałszywe,tymsamymfałszywajestichalterna-
tywa„Każdyjestsynemlubkażdyjestcórką”—oczywiście
jeśliwdziedzinieXfunkcjizdaniowejznajdujesięprzynajmniej
jednaparaosóboróżnejpłci.Równiełatwopodaćkontrprzykład
wykazującyfałszywośćimplikacjiodwrotnejdo(1.12).Jakoćwi-
czeniepozostawiamyteżCzytelnikowidowódtzw.prawaroz-
kładaniakwantyfikatoraogólnego(rozdzielnościkwantyfikatora
ogólnegowzględemimplikacji)
1013
(^
(f(x)⇒g(x)))⇒(^
f(x)⇒^
g(x))
xEX
xEX
xEX
ipodaniekontrprzykładudlaimplikacjiodwrotnej.Dodajmy,że
analogicznedo(1.13)praworozdzielnościkwantyfikatoraegzy-
stencjalnegowzględemimplikacjiniezachodzi.
Wnaturalnysposóbwprowadzasięfunkcjezdaniowedwóch
iwięcejzmiennych(zdaniowych).Zauważmy,żejeślif(x7y)
jestfunkcjązdaniowądwóchzmiennychxiy,tonaprzykład
wyrażenie^
f(x7y)jestfunkcjązdaniowąjednejzmiennejx,
yEY
natomiastwyrażenia^
^
f(x7y)orazV
^
f(x7y)sązda-
xEX
yEY
xEX
yEY
niami.Prawdziwesąnastępująceprawaprzestawianiakwantyfi-
katorów:
17
