Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Rachunekzbiorów
19
NiechdanebędązbioryAiB.Mówimy,żeAzawierasię
wB(AjestpodzbioremB)ipiszemyA⊂B(4)wtedyitylko
wtedy,gdydlakażdegoxzachodzi:xEA⇒xEB.Mówimy,
żezbioryAiBsąrówneipiszemyA1Bwtedyitylkowtedy,
gdyA⊂BiB⊂A.
NiechAiBbędąpodzbioramiprzestrzeni(5)X.Sumą,iloczy-
nem(lubprzekrojem),różnicąteoriomnogościowązbiorówAiB
nazywamyodpowiedniozbioryA∪B,A∩B,A1Bokreślone
równościami
1017
A∪B1{xEX:xEA∨xEB}7
1018
A∩B1{xEX:xEA∧xEB}7
1019
A1B1{xEX:xEA∧x/EB}.
DopełnieniemzbioruAwXnazywamyzbiórA′danyrów-
nością
1020
A′1{xEX:x/EA}.
Zauważmy,żejeślizbioryAiBokreślonezostałyfunkcjami
zdaniowymif(x)ig(x),tzn.A1{xEX:f(x)}orazB1{xE
X:g(x)},tomożemynapisać
A∪B1{xEX:f(x)∨g(x)}7
A∩B1{xEX:f(x)∧g(x)}7
A1B1{xEX:f(x)∧∼g(x)}7
A′1{xEX:∼f(x)}.
Prawarachunkuzdańwnaturalnysposóbprzenosząsięna
operacjenazbiorach,ponieważsumiezbiorówodpowiadaalter-
natywazdań,iloczynowikoniunkcjaitp.Naprzykładzprawem
deMorgana(1.3)dlazdańzwiązanejestprawo(A∪B)′1
A′∩B′,nazywaneprawemdeMorganadlazbiorów.Mamy
bowiem
(A∪B)′1{xEX:∼(xEA∨xEB)}
1{xEX:∼(xEA)∧∼(xEB)}
(4)Znak⊂zawieraniasięzbiorównazywamyznakieminkluzji.
(5)Terminu„przestrzeń”wodniesieniudozbioruXużywasięwtedy,
gdyrozważasiępodzbioryzbioruX.Dalejbędziemyteżspotykaliwyraże-
niatypu„przestrzeń+przymiotnik”(np.przestrzeńmetryczna,przestrzeń
wektorowa),którezostanązdefiniowanewtekście.
Rys01010Obszaryzacie-
niowaneodpowiadająsu-
mie,iloczynowiiróżnicy
zbiorów
