Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
12
y
0
2
x
Rysunek1010
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
fwpunkciex0=2izapisujemysymbolicznie
x→2
lim
f(x)=12.
I
Powyższyprzykładopisujenieformalniepojęciegranicyfunkcjiwpunkcie.
Podamyterazprecyzyjnądefinicjętegopojęcia,adokładniejdwierównoważne
definicje.
NiechGbędziepodzbioremzbioruliczbrzeczywistych.Ustalmypunktxo,
któryniekoniecznienależydozbioruG.Mówimy,żexojestpunktemskupienia
zbioruG,jeśliistniejeciąg(xn)n∈NelementówzbioruGróżnychodxozbieżnydo
punktuxo,tzn.
∀n∈Nxn∈G\{xo}oraz
n→∞
lim
xn=xo.
Niechf:G→Rbędziepewnąfunkcjąorazniechxobędziepunktemskupienia
zbioruG.Mówimy,żeliczbagjestgranicą(właściwą)funkcjifwpunkciexo,jeśli
dlakażdegociągu(xn)n∈NpunktówzbioruGróżnychodxozbieżnegodoxociąg
wartości(f(xn))n∈Njestzbieżnydog(rys.1.2),tzn.zachodziimplikacja
n→∞
lim
xn=xo
⇒
n→∞
lim
f(xn)=g.
Piszemywówczas
x→xo
lim
f(x)=g.
Często,zuwaginaczytelnośćpewnychrozważań,stosujesięrównieżnastępujące
zapisy:
f(x)−→
x→xo
g
lubf(x)→gjgdyx→xo.
Powyższądefinicjęgranicynazywamyteżdefinicjągranicyfunkcjiwpunkcie
wsensieHeinego.
