Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
5
f(xn)
f(x3)
f(x2)
f(x1)
g
y
0
x1x2
x0
xn
x3
x
Rysunek1020GranicaHeinegofunkcjif
wpunkciexo
Uwaga1.1.Zauważmy,żeskoroxojestpunktemskupieniazbioruG,toistnieje
(przynajmniejjeden)ciąg(xn)n∈NelementówzbioruGróżnychodxozbieżnydo
xo.Definicjagranicymazatemsens.
Przykład1.2.KorzystajączdefinicjiHeinegogranicyfunkcjiwpunkcie,pokażemy,
żelimx→2f(x)=12,gdzie
f(x)=
x3−8
x−2
j
x/=2.
DziedzinąfunkcjifjestzbiórG=(−∞j2)∪(2j∞).Liczbax0=2jestpunktem
skupieniazbioruGgdyż,naprzykład,ciąg(2+
n)
1
n∈NjestciągiemelementówzbioruG
zbieżnymdox0.Zauważmy,żex0=2niejestelementemzbioruG.
Weźmydowolnyciąg(xn)n∈NpunktówzbioruGzbieżnydo2,tzn.limn→∞xn=2.
Wówczas
f(xn)=
x3
xn−2
n−8
=$$$$
(xn−2)(x2
$$$
xn−2
n+2xn+4)
=x2
n+2xn+4j
n∈N.
Korzystajączwłasnościgranicciągówliczbowych,dostajemy
n→∞
lim
f(xn)=lim
n→∞
(x
2
n+2xn+4)=
=lim
n→∞
xn·lim
n→∞
xn+2·lim
n→∞
xn+lim
n→∞
4=
=2·2+2·2+4=12.
Azatem
x→2
lim
f(x)=lim
x→2
x3−8
x−2
=12.
I
Ćwiczenie1.1.Pokazać,żefunkcja
f(x)=sin
x
1
j
x/=0
niemagranicywpunkciexo=0(rys.1.3).
Rozwiązanie
