Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
11
f(xn)
f(x2)
f(x1)
g
y
0
x1x2xn
x0
x
f(x1)
f(xn)
f(x2)
g
y
0
x0
xn
x2
x1
x
Rysunek1050Granicalewostronnafunkcjif
wpunkciexowsensieHeinego
Piszemywówczas:
Rysunek1060Granicaprawostronnafunkcji
fwpunkciexowsensieHeinego
x→x
lim
1
o
f(x)=gwprzypadkugranicylewostronnej,
x→x
lim
+
o
f(x)=gwprzypadkugranicyprawostronnej.
Każdąztychgranicnazywamygranicąjednostronnąfunkcjiwpunkcie.
Zależnośćmiędzygranicąagranicamijednostronnymiopisujeponiższawła-
sność.
Własność1.2
Niechf:G→RorazxobędziepunktemskupieniazbioruG.Wówczasist-
niejegranicafunkcjifwpunkciexowtedyitylkowtedy,gdyistniejągranice
jednostronnefunkcjifwpunkciexoisąsobierówne(równegranicyfunkcjif
wpunkciexo),
x→xo
lim
f(x)=g
⇔
x→x
lim
1
o
f(x)=lim
x→x
+
o
f(x)=g.
Ćwiczenie1.4.Wyznaczyćgranicejednostronnefunkcjif(rys.1.7)wpunkcie
xo=0,gdzie
f(x)={
x2+1dlax>0.
xdlax<0
Czyfunkcjafmagranicęwtympunkcie?
Rozwiązanie.Najpierwwyznaczymygranicęlewostronnąfunkcjifwxo=0.
Dladowolnegociągu(xn)n∈Nzbieżnegodoxo=0itakiego,żexn<0dlakażdego
