Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
9
Ćwiczenie1.3.KorzystajączdefinicjiCauchy’egogranicyfunkcjiwpunkcie,
pokazać,że:
1)lim
2)lim
x→π
x→4
2
√x=2.
sinx=1,
Rozwiązanie
1)Przyjmijmyf(x)=sinx,x∈R.Należypokazać,że
∀ε>o∃δ>o∀
x/l
π
2
(|
|x−π
2
|
|<δ⇒|sinx−1|<ε).
Niechε>0.Znajdziemytakąliczbęδ>0,żedlakażdegox/=π
2warunek
|x−π
|
2
|
|<δimplikujewarunek|sinx−1|<ε.
Zauważmy,że
|sinx−1|=|
|sinx−sinπ
2
|
|=
|
|
|
|
2cos(
x+π
2
2
)sin(
x−π
2
2
)
|
|
|
|
=
=2
|
|
|
|
cos(
x+π
2
2
)
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(
x−π
2
2
)
|
|
|
|
.
Ponieważfunkcjacosinusjestograniczonaoraznamocynierówności
|sint|<|t|dlat∈R,mamy
|sinx−1|<|
|x−π
2
|
|.
Jeżeliprzyjmiemyterazδ=ε,to
|sinx−1|<|
|x−π
2
|
|<δ=εj
oiletylko|
|x−π
2
|
|<δ.
Ostatecznie,zgodniezdefinicjąCauchy’egogranicyfunkcjiwpunkcie,dosta-
jemy
x→π
lim
2
sinx=1.
2)Przyjmijmyf(x)=√x,x>0.Należypokazać,że
∀ε>o∃δ>o∀x/l4(|x−4|<δ⇒|√x−2|<ε).
Weźmydowolneε>0.Znajdziemyliczbęδ>0taką,żedlakażdegox/=4
warunek|x−4|<δimplikujewarunek|√x−2|<ε.
Zauważmy,że
|√x−2|=
|
|
|
|
|
(√x−2)·
√x+2
√x+2
|
|
|
|
|
=
|(√x)2−22|
|√x+2|
=
√x+2
1
|x−4|.
Ponieważx>0,więc
√x+2<1
1
2,astąd
|√x−2|<1
2·|x−4|.
