Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
1.1.5.Granicefunkcjiwnieskończoności,asymptotyukośne
Przykład1.7.Niechf(x)=2x
x+1,x/=−1.Niektórewartościfunkcjifdlacoraz
większychargumentówxzebranowponiższejtabeli.
Tabela1040Tabelaczęściowafunkcjif(x)=
x+1
2x
f(x)
x
1j0000
1
1j8181
10
1j9801
100
1j9980
1000
1j9998
10000
Widzimy,żeimcorazwiększe(„bliższe”∞)sąargumentyx,tymcoraz„bliższe”
liczbie2sąwartościfunkcjif(rys.1.21),cozapisujemysymbolicznie
x→∞
lim
f(x)=2.
y=2x
x+1
y
2
0
x
Rysunek10210
I
Podamyterazdefinicjęgranicywłaściwejiniewłaściwejfunkcjiw∞i−∞
wsensieCauchy’ego.
Niechfbędziefunkcjąokreślonąnaprzedziale(aj∞),dlapewnegoa.Mówi-
my,żeliczbagjestgranicą(właściwą)funkcjifw∞(rys.1.22),jeślidlakażdego
ε>0istniejeR>0takie,żezachodzi
x>R
⇒
|f(x)−g|<ε;
piszemywówczas
x→∞
lim
f(x)=g.
Analogicznie,dlafunkcjifokreślonejnaprzedziale(−∞ja)powiemy,żelicz-
bagjestgranicąfunkcjifw−∞,jeślidlakażdegoε>0istniejeR<0takie,że
dlax<Rzachodzi
x<R
⇒
|f(x)−g|<ε;
