Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
Niechfbędziefunkcjąokreślonąnaprzedziale(aj∞)dlapewnegoa.Powiemy,
żefunkcjafmaw∞granicę(niewłaściwą)równą∞(rys.1.23),jeślidlakażdego
M>0istniejeR>0takie,żedlakażdegox>Rmamyf(x)>M.Wzapisie
symbolicznym
∀M>o∃R>o∀x(x>R⇒f(x)>M);
piszemywówczas
x→∞
lim
f(x)=∞.
f(x)
M
y
0
a
R
x
x
Rysunek10230Granicaniewłaściwa
funkcjifwnieskończoności
wsensieCauchy’ego
Analogiczniepowiemy,żefunkcjafmaw∞granicę(niewłaściwą)równą
−∞,jeślidlakażdegoM<0istniejeR>0takie,żedlakażdegox>Rmamy
f(x)<M.Wzapisiesymbolicznym
∀M<o∃R>o∀x(x>R
⇒f(x)<M);
piszemywówczas
x→∞
lim
f(x)=−∞.
Wpodobnysposóbdefiniujemygranicęniewłaściwąfunkcjifw−∞,tzn.:
x→1∞
lim
f(x)=∞j
jeśli∀M>o∃R<o∀x(x<R⇒f(x)>M)j
x→1∞
lim
f(x)=−∞jjeśli∀M<o∃R<o∀x(x<R⇒f(x)<M).
Analogiczniedefiniujemygranicęniewłaściwąfunkcjiw∞i−∞wsensie
Heinego.
Ćwiczenie1.19.Pokazać,że
x→∞
lim
lnx=∞.
