Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
π
2
y
O
1π
2
y=x+π
y=x1π
2
2
x
Rysunek10270
Istotnie,niechε>0.PrzyjmijmyR=π
2ε>0.Wtedy,jeślix>R,to
|
|
|
|
arctgx
x
−0
|
|
|
|
=
arctgx
x
<
x
2
π
<
R
π
2
=ε.
Dostajemywięc
A=lim
x→∞
f(x)
x
=1.
Ponadto
B=lim
x→∞(f(x)−Ax)=lim
x→∞
(x+arctgx−x)=lim
x→∞
arctgx.
Ponieważfunkcjaarctgjestrosnącaorazprzyjmujewszystkiewartościzprzedzia-
łu(−π
2jπ
2),więc
B=lim
x→∞
arctgx=
π
2
.
Pokazaliśmy,żeprostay=x+π
2jestasymptotąukośnąfunkcjifw∞.
Korzystającznieparzystościfunkcjif,mamy
x→1∞
lim
f(x)
x
=lim
x→∞
f(−x)
−x
=lim
x→∞
f(x)
x
=1
oraz
x→1∞
lim
(f(x)−1·x)=lim
x→1∞
arctgx=lim
x→∞
arctg(−x)=−lim
x→∞
arctgx=−
π
2
.
Prostay=x−π
2jestzatemasymptotąukośnąfunkcjifw−∞.
I
