Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
81.ZasadydynamikiNewtona
Przykłademmożebyćprędkośćcząstkiv(t),którajestpochodnąwzględemczasuwek-
torapołożeniacząstkir(t);inaczejmówiąc,v=dr/dt.Podobnieprzyspieszeniejest
pochodnąwzględemczasuwektoraprędkościa=dv/dt.
Definicjapochodnejfunkcjiowartościachwektorowychjestbardzopodobnadode-
finicjipochodnejfunkcjiowartościachskalarnych.Jakpamiętamy,jeślix(t)jestskalar-
nąfunkcjąt,tojejpochodnądefiniujemyjako
dx
dt
=lim
∆t→0
∆x
∆t
,
gdzie∆x=x(t+∆t)−x(t)oznaczazmianęx,gdyczaszmieniasięodtdot+∆t.
Pochodnądowolnejfunkcjiwektorowejr(t)zależnejodtdefiniujemydokładniewtakim
samsposób:
dr
dt
=lim
∆t→0
∆t
∆r
,
(1.10)
gdzie
∆r=r(t+∆t)−r(t)
(1.11)
jestodpowiedniązmianąr(t).Powstajeoczywiściepytanie,czytakagranicaistnieje;
okazujesię,żezproblememtymwiążesięwielesubtelnychpytań.Naszczęścieniebę-
dziemymusielisięnimizajmować:wszystkiefunkcjewektorowe,zktórymibędziemy
mielidoczynienia,będąróżniczkowalneiCzytelnikmożeprzyjąćbezdowodu,żeod-
powiedniegraniceistnieją.Korzystajączdefinicji(1.10),możnapokazać,żepochodna
funkcjiwektorowejbędziemiałatesamewłaściwościcopochodnafunkcjiskalarnej.Na
przykładjeślir(t)is(t)sądwiemafunkcjamiwektorowymizależnymiodt,topochodna
ichsumyjestrówna
dt
d
(r+s)=
dr
dt
+
ds
dt
,
(1.12)
jakmożnasiębyłotegospodziewać.Podobnie,jeślir(t)funkcjąwektorową,af(t)jest
funkcjąskalarną,topochodnailoczynuf(t)r(t)danajestwzorembędącymuogólnie-
niemwzórnapochodnąiloczynufunkcji:
dt
d
(fr)=f
dr
dt
+
df
dt
r.
(1.13)
JeśliCzytelniknależydogronaosób,którymdowodzenietwierdzeńtegotypusprawia
przyjemność,tomożepokazać,żemożnajewyprowadzićzdefinicji(1.10).Jeślijednak
takiezadaniagonieinteresują,tomożezespokojemuznaćwszystkietetwierdzeniaza
udowodnione.
Wartojeszczewspomniećoskładowychwektora,któryjestpochodnąfunkcjiwek-
torowej.Załóżmy,żewektorrowspółrzędnychx,y,zreprezentujepołożenieporusza-
jącejsięcząstkiiprzypuśćmy,żechcemyobliczyćprędkośćcząstkiv=dr/dt.Kiedy
różniczkujemysumę
r=xˆ
x+yˆ
y+zˆ
z,
(1.14)
wtedyreguła(1.12)dajenamsumętrzechoddzielnychpochodnych,zktórychkażda—
namocyreguły(1.13)—zawieradwaczłony.Wynikastąd,żepochodna(1.14)zawiera,
