Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Przestrzeńiczas7
=r1s1+r2s2+r3s3=
Σ
n=1
3
rnsn,
(1.7)
gdzierisoznaczająwartościwektorówris,a9jestkątemmiędzytymiwektorami.
(Dowodowirównoważnościtychdwóchdefinicjipoświęconejestzadanie1.7).Jeślina
przykładsiłaFdziałanaciało,któredoznajemałegoprzemieszczeniadr,topracawy-
konanaprzeztęsiłęjestrównailoczynowiskalarnemuF·dr,przyczymwobliczeniach
możnaskorzystaćzewzoru(1.6)lub(1.7).Inneważnezastosowanieiloczynuskalar-
negotodefinicjawartościwektora:wartość(lubinaczejdługość)dowolnegowektorar,
oznaczanajako|r|lubr,namocytwierdzeniaPitagorasajestrównar2
1+r2
2+r2
3.
Zrównania(1.7)wynikazatem,że
r=|r|=√r·r.
(1.8)
Iloczynskalarnyr·rczęstozapisujemyskrótowojakor2.
Drugimrodzajemiloczynudwóchwektorówrisjestiloczynwektorowyp=r×s,
któregoskładowezdefiniowanesąnastępująco:
pz=rxsy−rysx
py=rzsx−rxsz
px=rysz−rzsy
1
}
J
.
Winnymzapisie
r×s=det
rxryrz
sxsysz
xˆ
ˆ
yˆ
z
J
,
(1.9)
gdzie„det”oznaczawyznacznik.Zkażdejztychdefinicjiwynika,żer×sjestwekto-
remprostopadłymzarównodor,jakidos,któregodługośćdanajestwzoremrssin9,
azwrotwyznaczonyjestprzezdobrzeznanąregułęprawejręki4(patrzzadanie1.15).
Iloczynwektorowyodgrywaważnąrolęwdyskusjiruchuobrotowego.Jeślinaprzy-
kładnaciałodziałasiłaF,przyłożonadociaławpunkcier,tomiarązdolnościtejsiły
dowywoływaniaobrotuciaławokółpoczątkuukładuodniesieniajestmomentsiłyF
względempunktuO,którydefiniujemyjakoiloczynwektorowyŴ=r×F.
Różniczkowaniewektorów
Wfizycejestwielepraw(możenawetdotyczytowiększościznich),któreformu-
łujesięprzyużyciuwektorów,przyczymnajczęściejkorzystasięzpochodnychwekto-
rów.Jesttakwielesposobówróżniczkowaniawektorów,żerozważanianadnimitworzą
osobnydziałmatematyki,zwanyanaliząwektorową,któryzostaniedośćwyczerpująco
zaprezentowanywramachtejksiążki.Wtymmiejscuwspomnęjedynieonajprostszym
typiepochodnejwektora,czylipochodnejwzględemczasuwektorazależnegoodczasu.
4Regułatajestrównoważnatzw.reguleśrubyprawoskrętnej(przyp.tłum.).
