Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
2.Postulatymechanikikwantowej
2.1.2Warunkikomutacjioperatorówfizycznych
WprzypisieI.4wskazywaliśmy,żerównośćdwóchoperatorównależyza-
wszerozumiećwtensposób,żeobaoperatorywdziałaniunadowolną,ale
tęsamąfunkcjędanejprzestrzenifunkcyjnejdająwwynikutensamrezul-
tat.Wobectego,związkimiędzyoperatoramiotrzymujemy,działająctymi
operatoraminasymboliczniewprowadzonąfunkcję.Przypewnejwprawie
możnatejfunkcjiwsposóbjawnyniepisać,jednakrachunki,zwłaszczaróż-
niczkowania,należyzawszetakwykonywać,jakgdybytafunkcjaistniała.
Oznaczmydlazwartościzapisuwspółrzędnepołożeniaprzezqk,apędu
przezpk,gdziewskaźnikk=1,2,3oznaczaodpowiedniowspółrzędnepo
osiachx,g,z.Obliczmykomutatoryoperatorówpołożeniaipędumającna
uwadze,żeteraz
pk=−i–
h
∂qk
∂
.
Otrzymujemy:
[qk,ql]f=(qkql−qlqk)f=qkqlf−qlqkf=0·f,
gdyżoperatoryqsąoperatoramimnożeniaprzezliczbę,amnożenieliczb
jestprzemienne.Zatemotrzymaliśmy
[qk,ql]=0
Podobnie,dlaoperatorówwspółrzędnychpędumamy
(2.10)
[pk,pl]f=pkplf−plpkf=(−i–
h)2{
∂qk
∂
∂ql
∂
(f)−
∂ql
∂
∂qk
∂
(f)}=
=(−i–
h)2∂2f
∂qk∂ql
−
∂ql∂qk=0·f,
∂2f
gdyżtutajkolejnośćwykonywaniaróżniczkowaniajestprzemienna,więc
[pk,pl]=0.
Obliczmykomutatorwspółrzędnejpołożeniaipędu:
[qk,pl]f=qkplf−plqkf=(−i–
h){qk
∂ql
∂f
−
∂ql
∂
(qkf)}=
=(−i–
h){qk
∂ql
∂f
−
∂qk
∂ql
f−qk
∂ql}=i–
∂f
h
∂qk
∂ql
f,
(2.11)
