Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.PostulatII—owartościachwłasnych
owspółczynnikach
51
c(k1k2k3)=(2π)
-3/2∫
-∞∫
∞
-∞∫
∞
-∞
+∞
e-ik1xe-ik2ye-ik3zf(xgz)dxdgdz
(2.45)
2.2.3Zagadnieniewłasneoperatorówmomentupędu
Trzyoperatorymomentupęduniekomutująmiędzysobą.Wobectego,nie
możnadobraćtakiejbazyfunkcji,którabyłabyjednocześniebaząfunk-
cjiwłasnychwszystkichtrzechwspółrzędnychtak,jaktobyłowprzypad-
kuoperatorówpędu.Możnajednakdobraćwspólnąbazęfunkcjiwłasnych
operatorakwadratucałkowitegomomentupęduijednejzjegowspółrzęd-
nych,którąumownieobieramyzalz,gdyżteoperatorykomutują(2.19).
Powiadamy,żewtakdobranejbazieobaoperatorylzil2będądiagonalne.
Rozpatrzmykolejnoobazagadnieniawłasne.
Równaniewłasnedlawspółrzędnejlzmomentupędujest
−i–
h(x
∂g
∂
−g
∂x)ψ=µψ.
∂
Przechodzącdowspółrzędnychsferycznych(2.9),otrzymamy:
−i–
h
∂ψ
∂ϕ
=µψ
(2.46)
zwarunkiembrzegowym,któryprzyjmujemy,zewzględunajednoznaczność
rozwiązania,wpostaci
ψ(0)=ψ(2π).
(2.47)
Rozwiązanierównania,pouwzględnieniu(2.47),jest(przypisI.5,zad.3)
ψ(ϕ)=
√2π
1
eimϕ,
gdzie
µ=–
hm
oraz
m=0,±1,±2,...
Współczynnik
d2π
1
zostałdobranydlacelównormalizacjitak,że
∫
o
2π
ψ∗
m1ψm
2dϕ=
2π∫
1
o
2π
ei(m2-m1)ϕdϕ=δm
1,m2,
comożnabezpośrednimrachunkiemsprawdzić.
(2.48)
(2.49)
