Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
64
2.Postulatymechanikikwantowej
2.2.5Ruchcząstkiwpolupotencjalnymosymetrii
sferycznej
Rozszerzmyrozważaniapoprzedniegoparagrafu,wprowadzającpolepoten-
cjalneV(r)zależnetylkoododległościoddobrzezlokalizowanegocentrum.
Operatorcałkowitejenergiibędzieteraz
H=−
2m
h2
–
∇2+V(r),
ajegorównaniewłasneprzyjmiepostać
−–
2m
h2
∇2+V(r)ψ=Eψ,
(2.94)
(2.95)
gdzieEjestterazsumąenergiikinetycznejipotencjalnej.Wtymwięc
przypadkuenergiamożeprzybieraćzarównowartościdodatnie,jakiujem-
ne.Pierwszyprzypadekprowadzidotakzwanychstanówrozproszeniowych
cząstki,adrugidostanówzwiązanych.
Równanie(2.95)możnaprzepisaćwpostaci
∇2ψ+
2m
h2
–
(E−V)ψ=0.
(2.96)
NosionowówczasnazwęrównaniaSchr¨
odingera.RównanieSchr¨
odingera
jestwięcpoprosturównaniemwłasnymoperatoracałkowitejenergiiroz-
ważanegoukładu.
Wdyskusjitegozagadnieniawygodniejjestprzejśćdowspółrzędnych
sferycznych.Zamiastrównania(2.95)otrzymamywówczas
−–
2m1
h2
r
∂r2
∂2
(r)+
r2
1
Λ+V(r)ψ=Eψ,
(2.97)
gdzieoperatorΛzależytylkoodwspółrzędnychkątowych(2.7).Poszukaj-
mywtymprzypadkurozwiązaniaorozseparowanychzmiennychradialnych
ikątowych,toznaczyrozwiązaniaopostaci
ψ(rϑϕ)=f(r)Y(ϑϕ)≡
R(r)
r
Y(ϑϕ).
(2.98)
Powstawieniu(2.98)do(2.97)otrzymujesiępoprostychprzekształceniach
r2
R
d2R
dr2
+
2m
h2
–
(E−V)r2=−
ΛY
Y
.
(2.99)
