Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
1.Zbiory,relacje,funkcje
nazywamyiloczynemkartezjańskimzbiorówAiB.Iloczynkartezjańskizbiorów
AiBskładasięzewszystkichparuporządkowanych(ajb),takichżea∈A,b∈B.
JeślidanesątrzyzbioryAjBjC,tomożemyzdefiniowaćiloczynkartezjańskitych
zbiorówwnastępującysposób:
A×B×C=A×(B×C).
Elementytakiegoiloczynu,czyliformalnieparypostaci(aj(bjc)),będziemyzapi-
sywaćjako(ajbjc)inazywaćtrójkamiuporządkowanymi.Namocytwierdzenia1.1
prawdziwajestnastępującawłasnośćtrójekuporządkowanych:
(ajbjc)=(a1jb1jc1)wtedyitylkowtedy,gdya=a1ib=b1ic=c1.
Podobniedefiniujesięiloczynkartezjańskiczterech,pięciu,iogólniedowolnej
takiejilościzbiorów,którepotencjalniejesteśmywstaniezapisać.
Jestrzecząoczywistą,leczwartąodnotowania,żeA×B/=∅,jeśliA/=∅
orazB/=∅.Istotnie,jeśliA/=∅orazB/=∅,toistniejąx∈Aorazg∈B.Tak
więcparauporządkowana(xjg)jestelementemA×B.Podobnie,powtarzając
powyższerozumowanie,możemystwierdzić,żeA×B×C/=∅,jeślitylkozbiory
AjBorazCsąniepuste.
1.2.Relacjeifunkcje
Relacją(dwuargumentową)nazywamyzbiórzłożonyzparuporządkowanych.Re-
lacjąjestwięckażdyzbiórR⊆X×Y.Jeśli(xjg)∈R,tozwyklepiszemy
xRg
imówimy,żexjestwrelacjiRzg.DziedzinąrelacjiR⊆X×Ynazywamyzbiór
dom(R)={x∈X:istniejetakieg∈Yjże(xjg)∈R}j
aprzeciwdziedzinąrelacjiRzbiór
rng(R)={g∈Y:istniejetakiex∈Xjże(xjg)∈R}.
Zbiórpustyjestrelacją,bojestzawartywkażdymzbiorze—zarównodziedzina,
jakiprzeciwdziedzinatejrelacjisązbioramipustymi.
Narelacjachmożemywykonywaćtesameoperacje,conainnychzbiorach;
suma,iloczyniróżnicarelacjijestokreślonawoczywistysposób.Wprowadźmy
jeszczedalszeoperacje.JeśliR⊆X×Yjestdowolnąrelacją,aZ⊆X,to
obcięciemrelacjiRdozbioruZnazywamyrelację
R↾Z=R∩(Z×Y)={(xjg)∈R:x∈Z}.
Drugąnowąoperacjąjestzłożenie.DladowolnychrelacjiR⊆X×YiS⊆Z×W
złożenierelacjidefiniujemywnastępującysposób:
SoR={(xjw)∈X×W:istniejetakieg∈Y∩Zj
że(xjg)∈Roraz(gjw)∈S}.
