Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
Dowód.Funkcjęgokreślamywzorem:
g([x]R
f)=f(x).
1.Zbiory,relacje,funkcje
Definicjajestpoprawna,bojeśli[x]R
f
=[g]R
f,toxRfg,czylif(x)=f(g).
Różnowartościowośćfunkcjigwynikastąd,żef(x)=f(g)pociągaxRfg,czyli
[x]R
f=[g]R
f.
Komentarze
1.Dziedzinaiprzeciwdziedzinazbioru
Pojęciedziedzinyiprzeciwdziedzinymożnazdefiniowaćdladowolnychzbio-
rów,nietylkodlarelacji.Jeśli(xjg)∈Z,to{xjg}∈UZ,gdyż{xjg}∈(xjg),
awięcxjg∈UUZ.DladowolnegozbioruZmożemyzdefiniowaćjegodziedzinę
następującymwzorem:
dom(Z)={x∈UUZ:istniejetakiegjże(xjg)∈Z}j
aprzeciwdziedzinęwzorem
rng(Z)={g∈UUZ:istniejetakiexjże(xjg)∈Z}.
2.Uogólnionadystrybutywność
Jeślidlarodzinyindeksowanejzbiorówzbiórindeksówmapostaćiloczynu
kartezjańskiegozbiorówniepustychAiB,toelementytakiejrodzinyoznaczamy
symbolemXi,b,zamiastformalnegoX(i,b).Wtymprzypadkudlakażdegoa∈A
możemyrozważaćsumęSi=Ub∈BXi,boraziloczynIi=Πb∈BXi,b.Wten
sposóbotrzymujemynowerodzinyindeksowane(Si:a∈A)oraz(Ii:a∈A),
dlaktórychmożemyponownierozważaćsumyiiloczyny.Związekmiędzynimi
opisująnastępującerówności,znanejakouogólnioneprawodystrybutywności:
(1)
(2)
Π
U
Xi,b=U
Π
Xi,f(i)j
i∈A
b∈B
f∈AB
i∈A
U
Π
Xi,b=Π
U
Xi,f(i).
i∈A
b∈B
f∈AB
i∈A
Dodowoduinkluzji⊆wrówności(1)trzebawykorzystaćpewnikwyboru.Rów-
ność(2)możnaotrzymaćzpierwszejzapomocąprawDeMorgana.
3.Składowezbiorów
UstalmyzbiórXirodzinęR={A1j...jAn}podzbiorówzbioruX.Dlakaż-
degoAk∈RprzyjmijmyAo
k=AkorazA1
k=X\Ak.SkładowąrodzinyR
nazywamykażdyiloczynpostaci
Ai1
1∩···∩Ain
nj
