Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
Porządki
Zbiorybezjakiejkolwiekdodatkowejstruktury,któremożnabynazwać„zbiora-
miczystymi”,niesązbytinteresującezpunktuwidzeniarozważańmatematycz-
nych.Wyjątkiemjestbyćmożezagadnienieokreślenia„ilościelementów”zbioru,
oczymbędziemypisaliwrozdzialepiątym.Ozbiorzezłożonymzelementów,
międzyktóryminiewystępujążadnezwiązki,niewieleciekawegojesteśmywsta-
niepowiedzieć.Znanenamjużrelacjerównoważności,wyrażającepewnezwiązki
międzyelementami,pozwalająabstrahować,czylipomijaćczęśćnieistotnychcech
elementównarzecztych,którenasinteresują.Innymcelemmatematykijestpo-
równywanieobiektów,czegoefektemjeststwierdzenie,żejedenznichjestwiększy
oddrugiego.Ztegorodzajusytuacjąspotkaliśmysięjużwrozdzialepierwszym
przyokazjiomawianiarelacjiinkluzji.
2.1.Zbioryuporządkowaneiliniowouporządkowane
Formalnierzeczujmując,porównywanieelementówzbioruX,czyliichporządko-
wanie,tonicinnegojakwprowadzenierelacjiR⊆X×Xspełniającejokreślone
warunki.
Naśladującwłasnościinkluzji,mówimyżeR⊆X×Xjestrelacjąporządkującą
zbiórXlubżeRjestporządkiemwzbiorzeX,gdyRjestrelacjązwrotną,słabo
antysymetrycznąiprzechodnią,tzn.gdydladowolnychxjgjz∈Xspełnionesą
następującewarunki:
(1)xRx(zwrotność),
(2)jeślixRgorazgRx,tox=g(słabaantysymetria),
(3)jeślixRgorazgRz,toxRz(przechodniość).
Relacjeporządkującebywająrównieżnazywanerelacjamiczęściowoporządkują-
cymi.Zauważmy,żejeślirelacjaRporządkujezbiórX,todom(R)=X.JeśliR
jestporządkiemwzbiorzeX,toparę(XjR)nazywamyzbioremuporządkowanym.
Wmiejsceoznaczeńliterowychprzyjętostosowaćnastępująceoznaczeniarelacji
porządkujących:Ś,Śitd.
