Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
2.Porządki
Lemat2.11.Jeślirelacja§porządkujelinioworodzinęzbiorówuporządko-
wanychR,tosuma(SjŚ)rodzinyRjesttakimzbioremuporządkowanym,że
(XjŚ)§(SjŚ)dlakażdego(XjŚ)∈R.Ponadto,jeślikażdyzezbiorówrodziny
Rmaelementnajmniejszy,tojestontakisamdlakażdegoztychzbiorówijest
elementemnajmniejszymsumy(SjŚ).
Dowód.Namocylematu2.1,sumarodzinyRjestpoprawnieokreślona,gdyż
liniowośćrelacji§wRpociągaliniowośćrelacji⊑i,awięciliniowośćrelacji⊑
wR.Tensamlematimplikuje,żeporządekŚwzbiorzeXjestindukowanyprzez
porządekŚwzbiorzeSdlakażdego(XjŚ)∈R.Niech(XjŚ)∈R.Ustalmytakie
x∈XorazS∈S,żeS<x.Istniejetakizbióruporządkowany(YjŚ′)∈R,że
S≺′x.Skoro§liniowoporządkujeR,to(YjŚ′)§(XjŚ)lub(XjŚ)§(YjŚ′).
WobectegoS∈X,gdyżwpierwszymprzypadkumamywszczególności,żepo-
rządekŚjestprzedłużeniemporządkuŚ′wY,awdrugimwynikatozdefinicji
przedziałupoczątkowego.
Załóżmy,żexjestelementemnajmniejszymzbioru(XjŚ)∈R,agelementem
najmniejszymzbioru(YjŚ′)∈R.SkororodzinaRjestliniowouporządkowana
relacją§,tomożemyzałożyć,że(YjŚ′)§(XjŚ).WówczasY⊆X,skądwy-
nika,żexŚg.Przypuśćmy,żex/=g.Wtedyx≺gikorzystającztego,żeY
jestprzedziałempoczątkowymX,otrzymujemyżex∈Y.Wobectegog≺′x,
azatemg≺x.Tojednakoznacza,żexniejestnajmniejszywX,coprowadzido
sprzeczności.
Odnotujmyjeszczełatwe,leczważnetwierdzenieozbiorachuporządkowanych,
którewykorzystamypóźniej.
Twierdzenie2.12(LematBanacha).Jeśli(XjŚ)jestzbioremuporządko-
wanymwsposóbzupełny,af:XąXjesttakąfunkcją,że
jeślixŚgjtof(x)Śf(g)
dladowolnychxjg∈X,toistniejetakipunktx∗∈X,żef(x∗)=x∗.
Dowód.NiechC={x∈X:xŚf(x)}.ZbiórCjestniepusty,boelement
najmniejszyzbioru(XjŚ)należydoC.Pokażemy,żex∗=supCspełniatezę
twierdzenia.Istotnie,jeślix∈C,toxŚf(x)Śf(x∗),boxŚx∗.Takwięc
x∗=supCŚf(x∗).Wobectegof(x∗)Śf(f(x∗)),atooznacza,żef(x∗)∈C.
Stądwynika,żef(x∗)Śx∗,cokończydowódtwierdzenia.
2.2.LematKuratowskiego−Zorna
Pokażemyterazjednąznajważniejszychkonsekwencjipewnikawyboruzwaną
lematemKuratowskiego–Zorna.Abyudowodnićtenlemat,potrzebowaćbędziemy
poniższegotwierdzenia.
