Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1.Zbiory,relacje,funkcje
Rozważmyjeszczenastępującetwierdzenie,wdowodziektóregowykorzystamy
pewnikwyboru:
Twierdzenie1.9.Jeślif:XąYjestsurjekcją,toistniejetakafunkcja
g:YąX,żefog=idY.
Dowód.Możemyzałożyć,żeY/=∅.Dlakażdegog∈Yprzeciwobrazf11[{g}]
jestniepusty,gdyżfjestsurjekcją.Niechhbędziefunkcjąwyborudlarodziny
{f11[{g}]:g∈Y}.Funkcjag:YąXokreślonawzoremg(g)=h(f11[{g}])
spełniarównośćfog=idY.
Ostatnietwierdzenie,podobniejaktwierdzenieoprodukcie,implikujepewnik
wyboru.Istotnie,niechR/=∅będzierodzinązbiorówniepustychparamirozłącz-
nych.Zdefiniujmyfunkcjęf:URąRwnastępującysposób:
f(x)=Rjjeślix∈R.
Skoroelementyrodzinysąparamirozłączne,tofunkcjafjestpoprawniezdefi-
niowana.Ponadtofjestsurjekcją.Azatemistniejetakafunkcjag:RąUR,że
fog=idR.Zdefinicjifunkcjifotrzymujemy,żeg(R)∈RdlakażdegoR∈R,
czyligjestfunkcjąwyborudlarodzinyR.
Dalszekonsekwencjepewnikawyboruprzedstawimywnastępnychrozdziałach.
1.3.Relacjerównoważności
Bardzoważnąrolęwteoriizbiorówodgrywająrelacje,dlaktórychdziedzinaoraz
przeciwdziedzinasązawartewtymsamymzbiorzeX.RelacjęR⊆X×Xnazy-
wamyrelacjąrównoważnościwzbiorzeX,gdyjestzwrotna,symetrycznaiprze-
chodnia,tzn.gdydladowolnychxjgjz∈Xsąspełnionenastępującewarunki:
(1)xRx(zwrotność),
(2)jeślixRg,togRx(symetria),
(3)jeślixRgorazgRz,toxRz(przechodniość).
Załóżmy,żeRjestrelacjąrównoważnościwzbiorzeX.Dlakażdegox∈X
rozważmyzbiór
[x]R={g∈X:gRx}.
Zbiórtennazywamyklasąabstrakcjiwyznaczonąprzezelementx.Rodzinęwszyst-
kichklasabstrakcjirelacjirównoważnościRwzbiorzeXoznaczamysymbolem
X/R.Zatem
X/R={[x]R:x∈X}.
Przykładowo,jeśliXjestzbioremwszystkichprostychnapłaszczyźnie,aRjest
relacjąrównoległości,toklasamiabstrakcjiwzględemtejrelacjisąkierunki.
RelacjarównoważnościRwzbiorzeXwyznaczakanonicznąfunkcjęqR:Xą
X/RodwzorowującąXnazbiórklasabstrakcjiidanąwzorem:
qR(x)=[x]R.
