Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.LematKuratowskiego–Zorna
29
Twierdzenie2.13.Załóżmy,że(XjŚ)jestzbioremuporządkowanym,wktó-
rymkażdyłańcuchmakresgórny.Wtedykażdatakafunkcjaf:XąX,że
xŚf(x)
dlakażdegox∈X,mapunktstały,tzn.istniejetakipunktx∗∈X,że
f(x∗)=x∗.
Dowód.Skorozbiórpustyjestłańcuchem,tozzałożeniawynika,żeistniejejego
kresgórny,któryjestelementemnajmniejszymw(XjŚ).Oznaczmytenelement
jakoairozważmyrodzinęA⊆D(X)złożonązewszystkichpodzbiorówAzbioru
Xspełniającychnastępującewarunki:
(a)a∈A,
(b)f[A]⊆A,
(c)jeśliL⊆Ajestłańcuchemw(XjŚ),tosupL∈A.
Zauważmy,żerodzinaAjestniepusta,gdyżX∈A.WrodzinieAistniejeelement
najmniejszy,amianowiciezbiór
A⋆=ΠA.
Istotnie,warunki(a)i(c)sądlazbioruA⋆spełnionewsposóboczywisty.Do
dowoduwarunku(b)zauważmy,żenamocytwierdzenia1.7(2)mamy
f[A⋆]=f[ΠA]⊆Π{f[A]:A∈A}⊆Π{A:A∈A}=A⋆.
ZatemA⋆∈A.Udowodnimy,żezbiórA⋆jestłańcuchemw(XjŚ).Wtymcelu
rozważmyzbiór
B={x∈A⋆:jeślig∈A⋆orazg<xjtof(g)Śx}.
Wykażemy,żeB∈A.Zauważmy,żea∈B,gdyża∈A⋆orazajestelementem
najmniejszymzbioru(XjŚ).Takwięcnieistniejetakielementg∈A⋆,żeg<a.
Zanimprzystąpimydodowodu,żezbiórBspełniawarunki(b)i(c),ustalmy
x∈Birozważmyzbiór
Bx={z∈A⋆:zŚxlubf(x)Śz}.
Zauważmy,żea∈Bx,gdyżaŚx.Ustalmyelementz∈Bx.WówczaszŚxlub
f(x)Śz.Jeśliz<x,tozdefinicjizbioruBmamyf(z)Śx,czylif(z)∈Bx.
Wprzeciwnymwypadkux=zlubf(x)Śz.Jeślif(x)Śz,tof(x)Śf(z),
gdyżzŚf(z).Wobectegof(z)∈Bx.Jeślinatomiastx=z,tof(x)=f(z),
awięctakżef(z)∈Bx.Tymsamymwykazaliśmy,żezbiórBxspełniawarunek
(b).UstalmyłańcuchL⊆Bx.Jeśliwszystkieelementyz∈Lspełniająwarunek
zŚx,tooczywiściesupLŚx.Stądwynika,żesupL∈Bx.Jeślif(x)Śzdla
pewnegoz∈L,towtedyf(x)ŚsupL,czylitakżesupL∈Bx.
Powyżejwykazaliśmy,żeBx∈Adlakażdegox∈B.PonieważzbiórA⋆jest
najmniejszywrodzinieA,więcA⋆⊆Bx.SkorojednakBx⊆A⋆,toBx=A⋆,co
