Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
2.Porządki
JeśliA⊆D(X),czyliAjestrodzinązłożonązpodzbiorówzbioruX,toUA
jestkresemgórnymzbioruAw(D(X)j⊆).Istotnie,A⊆UAdlakażdegoA∈A
orazjeśliA⊆DdlakażdegoA∈A,toUA⊆D.
Zbiórpusty∅jestnajmniejszym,azbiórXnajwiększymelementemwzbiorze
uporządkowanym(D(X)j⊆).Nietrudnouzasadnić,żeΠAjestkresemdolnym
zbioruniepustegoAw(D(X)j⊆).
Sytuacjasięzmieni,gdyzezbiorupotęgowegousuniemyzbiórpustyoraz
X.Wówczasoczywiścierelacjainkluzji⊆nadalporządkujezbiórR=D(X)\
{∅jX}jjednakżewzbiorzetymniemaelementunajwiększegoaninajmniejszego.
Pojawiająsięnatomiastelementyminimalneimaksymalne,oilezbiórXma
przynajmniejdwaelementy.Elementamiminimalnymisązbioryjednoelementowe
postaci{x},gdziex∈X,amaksymalnymidopełnieniatychżezbiorów.Zmienia
siętakżesytuacja,jeślichodziokresy:naprzykładrodzina{{x}:x∈X}⊆R
niemawzbiorze(Rj⊆)anikresugórnego,anikresudolnego.
Przedstawionypowyżejprzykładzbioruuporządkowanego(D(X)j⊆)jest
wpewnymsensieprzykłademuniwersalnym.Abytoobjaśnić,wprowadźmynastę-
pującądefinicję:jeśli(XjŚ)oraz(YjŚ)sązbioramiuporządkowanymi,tofunkcję
f:XąYnazywamyzanurzeniemporządkowymzbioru(XjŚ)wzbiór(YjŚ),
gdydladowolnychxjg∈Xspełnionyjestnastępującywarunek:
xŚgwtedyitylkowtedy,gdyf(x)Śf(g).
Funkcjafspełniającapowyższywarunekjestróżnowartościowa.Istotnie,jeśli
f(x)=f(g),tof(x)Śf(g)orazf(g)Śf(x),zatemxŚgorazgŚx,astąd
x=g.Jeślifjestzanurzeniemporządkowymzbioruuporządkowanego(XjŚ)
wzbióruporządkowany(YjŚ),toobrazf[X]wrazzrelacjąŚmatakiesame
własnościporządkowejakzbiór(XjŚ).Touzasadniatermin„zanurzenie”.
Twierdzenie2.8.Dladowolnegozbioruuporządkowanego(XjŚ)istniejeza-
nurzenieporządkowewzbióruporządkowany(D(X)j⊆).
Dowód.Sprawdzimy,żefunkcjaf:XąD(X)zdefiniowanawzorem
f(x)=(łjx]
jestzanurzeniemzbioruuporządkowanego(XjŚ)wzbióruporządkowany
(D(X)j⊆).Załóżmy,żexŚg,gdziexjg∈X.Wówczas(łjx]⊆(łjg],czy-
lif(x)⊆f(g).Naodwrót,jeślif(x)⊆f(g),to(łjx]⊆(łjg].Skorozaś
x∈(łjx],tox∈(łjg],awięcxŚg.
Zanurzeniefzbioruuporządkowanego(XjŚ)wzbióruporządkowany(YjŚ)
nazywamyizomorfizmemzbioruuporządkowanego(XjŚ)nazbióruporządkowa-
ny(YjŚ),gdyfjestfunkcjązezbioruXnazbiórY,tzn.gdydom(f)=X
orazrng(f)=Y.Zauważmy,żejeślifunkcjafjestizomorfizmemzbioruXna
zbiórY,tofunkcjaf11jestizomorfizmemzbioruYnazbiórX.Nietrudnotakże
zauważyć,żezłożenieizomorfizmówjestizomorfizmem.Jeśliistniejeizomorfizm
zezbioruuporządkowanego(XjŚ)nazbióruporządkowany(XjŚ),tomówimy,
