Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24.1.Niekonwencjonalnesymetrieitwierdzenianno-gofl
27
symetriiSU(6)jestoczywiściezarównopółprosta,jakizwarta,zatemtwierdze-
nietowykluczamożliwośćużyciatakiejsymetriiwteoriachrelatywistycznychdo
wyprowadzeniazwiązkówmiędzycząstkamioróżnychspinach.
Dowódjestnastępujący.Niechwszystkiegeneratorysymetriikomutujące
zoperatoremczteropęduPMtworząalgebręLiegorozpinanąprzezgeneratoryBO.
Zastanówmysię,jaknategeneratorydziaławłaściweprzekształcenieLorentza
$MąAMu$u,którewprzestrzeniHilbertajestreprezentowaneprzezoperator
unitarnyU(A).Łatwozobaczyć,żeoperatorU(A)BOU
11(A)jesthermitowskim
generatoremsymetriikomutującymzAu
MPu.PonieważAu
Mjestmacierząnieoso-
bliwą,operatortenmusikomutowaćzPM,azatemmusibyćkombinacjąliniową
generatorówBO:
U(A)BOU
11(A)1v
D;
O(A)B;;
(24)1)1)
;
gdzieD;
O(A)sązbioremwspółczynnikówrzeczywistychtworzącychreprezentację
jednorodnejgrupyLorentza
D(A1)D(A2)1D(A1A2))
(24)1)2)
Następnie,ponieważgeneratoryU(A)BOU
tacyjnecogeneratoryBO,więcstałestrukturyC
11(A)spełniajątesamezwiązkikomu-
O;tejalgebryLiegosątensorami
7
niezmienniczymi,wtymsensie,że
C7
O;1v
DO
O(A)D;
!
;(A)D7
!
7!(A
11)C7
O!;!)
!
(24)1)3)
O!;!7!
ZwężająctęrównośćzpodobnąrównościądlaCO
g;δ1v
D;
!
;(A)Dδ
!
δ(A)g;!δ!;
7δ,otrzymujemy
;!δ!
gdzieg;δjestmetrykąalgebryLiego
g;δŹv
C7
O;CO
7δ)
O7
(24)1)4)
(24)1)5)
PonieważwszystkietegeneratorykomutujązPM,mamyCO
M;1;CO
;M10,czyli
gMO1gOM10.
(24.1.5)dajegAB1v
BędziemyodróżniaćgeneratorysymetriiinneniżPMprzezużyciewskaŹni-
CDCD
;itd.WykorzystanieznikaniaCA
ACCC
BD.Ponieważzałożyliśmy,żegeneratoryBAroz-
MB1;CA
BMwewzorze
kówA,Bitd.zamiastl,
pinająjakąśzwartąpółprostąalgebręLiego,macierzgABjestdodatniookreślona.
Wzory(24.1.4)i(24.1.2)pokazują,żemacierzeg1/2D(A)g11/2tworząjakąśrze-
czywistąiortogonalną,azatemskończeniewymiarowąiunitarnąreprezentację
jednorodnejgrupyLorentza.AleponieważgrupaLorentzaniejestzwarta,jedyną
