Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawyalgebry,Warszawa2008
ISBN978-83-01-14252-0,©byWNPWN2004
6
ROZDZIAŁ1.POCZĄTKIALGEBRY
Wzory(2),(3),zwanewzoramiCardano(1545r.),łączysięteżznazwiskami
innychmatematykówwłoskichepokiOdrodzenia(ScipiodelFerro,Nicol`
oTar-
taglia).Wzoryte,podobniejakwzór(1),sąprawdziwedladowolnychwartości
współczynnikówliczbowycha,b,c,p,q(pozaoczywiściea=0w(1)).Analo-
gicznewzoryznalezionodlarównańczwartegostopniaiprzezprawietrzystalat
usiłowanobezskutecznienrozwiązaćprzezpierwiastniki”ogólnerównaniestopnia
piątego.Dopierow1813r.PaoloRuffini(wpierwszymprzybliżeniu)iw1827r.
NielsHenrikAbel(niezależnieicałkowicieściśle)udowodnili,żeogólnerównanie
xn+a1xn11+...+an=0
dlan>4niejestrozwiązalneprzezpierwiastniki.
Fundamentalnegoodkryciawtejdziedziniedokonałw1831r.20-letni´
Evariste
Galois(opublikowanojedopierow1846r.):podałonuniwersalnekryteriumroz-
wiązalnościprzezpierwiastnikidowolnego(anietylkoogólnego)równaniastopnia
nowspółczynnikachnp.wymiernych.Każdemuwielomianowistopnianprzypisał
ontzw.ciałorozkładuiskończony(conajwyżejn!-elementowy)zbiórautomorfi-
zmówtegociała,zwanydzisiajgrupąGaloisciałalubwielomianu.Bardziejszcze-
gółowozajmiemysięteoriąGaloiswczęściIIIksiążki,gdziezapomocączysto
wewnętrznychwłasnościwyróżnimypewnąspecjalnąklasęgrup,zwanychroz-
wiązalnymi.Okazujesię,żerównaniestopnianowspółczynnikachwymiernych
jestrozwiązalneprzezpierwiastnikiwtedyitylkowtedy,gdyodpowiadającamu
grupaGaloisjestrozwiązalna.Rozpatrzmynp.równanie
x5−ax−1=0j
gdzieajestliczbącałkowitą.
OdpowiadamugrupaGaloisGa,zależnawpewienskomplikowanysposóboda.
GrupaGojestczteroelementowągrupącykliczną(agrupycyklicznesąrozwią-
zalne)irównanie
x5−1=0
jestrzeczywiścierozwiązalneprzezpierwiastniki.Zdrugiejstrony,G1mastruk-
turęgrupysymetrycznejS5rzędu120;wczęściIIIudowodnimy,żegrupatanie
jestrozwiązalna.Wobectegorównanie
x5−x−1=0
równieżniejestrozwiązalneprzezpierwiastniki.
Zauważmynazakończenie,żedlacelówpraktycznychmożliwośćwyrażenia
pierwiastkarównaniaalgebraicznegowjawnejpostaciprzezpierwiastnikiniema
istotnegoznaczenia;owieleważniejszesąróżneprzybliżonemetodyobliczania
pierwiastków.NieumniejszatowniczympięknarezultatuGalois,którywywarł
silnynideologiczny”wpływnadalszyrozwójmatematyki.Przedewszystkim,to
właśnieGaloisstworzyłpodstawyteoriigrup.Ustalonaprzezniegoodpowiedniość
wzajemniejednoznacznapomiędzypodciałamiciałarozkładuipodgrupamijego
grupyGaloiswzbogaciłasięwXXwiekuonoweabstrakcyjnekonstrukcjeistała
sięniezastąpionymnarzędziembadaniaobiektówmatematycznych.
