Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.ZBIORYIFUNKCJE
17
Współczesnateoriamnogościopartajestnaukładzieaksjomatówzwanychod
nazwisktwórcówaksjomatamiZermelo-Fraenklazaksjomatemwybo-
ru(ZF)(p.[5],[12]).Wprowadzenieaksjomatykiwintuicyjnejteoriimno-
gościCantorawyeliminowałowieleparadoksów(antynomii)wynikającychze
swobodnegotraktowaniapojęciazbioruiniemożnościuzyskaniaodpowiedzi
nabardziejsubtelnepytaniadotyczącewłasnościzbioru.Jednąznajbardziej
znanychobalonychantynomiijestparadokszwanyantynomiąRussella9
wnastępującejpostaci:
RozpatrzmyzbiórZzłożonyzewszystkichzbiorów,któreniesąswoimiwła-
snymielementami.ZatemdowolnyzbiórAjestelementemzbioruZ,gdyAnie
jestelementemA.PojęciezbioruZprowadzidosprzeczności,bowiempowsta-
jepytanie,czyZjestelementemzbioruZ.Jeślijest,tozdefinicjiZwynika,
żeZniejestswoimelementem,czyliniejestelementemzbioruZ.Zdru-
giejstronyjeśliZniejestswoimwłasnymelementem,tonamocydefinicjiZ
jestelementemZ,costanowisprzeczność.(p.[19])Waksjomatycznejteorii
mnogościwyróżniamypojęcierodziny(klasy)zbiorów,tzn.zbioru,którego
elementamisązbiory.
Naszczególnepodkreśleniezasługujeaksjomatwyboru,gdyżpodzieliłon
światmatematykinadwaobozy,uznająceprawdziwośćaksjomatu(pewni-
ka)wyboruinieuznającego.Jednązprzyczynkontrowersjiwokółaksjomatu
wyborujestparadoksalnyrozkładkuliskonstruowanyprzezS.Banacha10iA.
Tarskiego11lubinaczejantynomiaBanacha-Tarskiego,wedługktórej:
Napodstawiepewnikawyborumożnapodzielićkulęozadanympromieniuna
skończonąliczbękawałkówiztychkawałkówzapomocąprzekształceńizo-
metrycznych(translacje,obroty,symetrie)złożyćkulęodwukrotniewiększym
promieniu,oiletylkokawałkisąniemierzalne.
Uzyskanyrezultatjestsprzecznyzintuicją,jednakżestałsięargumentem
wdyskusjinadgranicamiintuicyzmuwrozważaniachabstrakcyjnych.Wy-
9RussellBertrandArthur(1872–1970)–angielskilogik,matematykifilozof,profesor
nauniwersytecieCambridge.Prowadziłbadania,wktórychstarałsięsprowadzićteorię
mnogości,anawetcałąmatematykę,dologiki.Odkryłsprzecznośćwteoriimnogościzwaną
odjegonazwiskaantynomiąRussella.W1950r.otrzymałliterackąNagrodęNobla(p.[18]).
10BanachStefan(1892–1945)–polskimatematyksamouk,współtwórcapolskiejszkoły
matematycznej,profesornaUniwersytecieLwowskim.Współtwórcaanalizyfunkcjonalnej
(m.in.wprowadziłpojęcieprzestrzenifunkcyjnejnazwanejpóźniejodjegoimieniaprzestrze-
niąBanacha),prowadziłbadaniazzakresutopologii,teoriimiaryiteoriifunkcjirzeczywi-
stych.UznawanyzajednegoznajwiększychmatematykówpierwszejpołowyXXwieku.
11TarskiAlfred(1902–1983)–polskilogikimatematyk,współtwórcawarszawskiejszkoły
logicznej,od1946r.profesornaUniwersytecieKalifornijskimwBerkeley.Badaniakoncen-
trowałnapodstawachteoriimnogościianaliziefunkcjonalnej.
