Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.ZBIORYIFUNKCJE
19
30RóżnicązbiorówX,YnazywamyzbiórX\Y={x:(x∈X)∧(x/
∈Y)}.
Przykład1.2.2.RozważmydwazbioryX={a,b,c,d}orazY={c,d,e}.
1.SumązbiorówjestzbiórX∪Y={a,b,c,d,e}.
2.IloczynemzbiorówjestzbiórX∩Y={c,d}.
3.RóżnicązbiorówjestzbiórX\Y={a,b}
l
Twierdzenie1.2.1.DladowolnychzbiorówX,YiZprawdziwesąrówności:
a)przemiennośćiloczynuzbiorówX∩Y=Y∩X,
b)łącznośćiloczynuzbiorówX∩(Y∩Z)=(X∩Y)∩Z,
c)przemiennośćsumyzbiorówX∪Y=Y∪X,
d)łącznośćsumyzbiorówX∪(Y∪Z)=(X∪Y)∪Z,
e)rozdzielnośćiloczynuzbiorówwzględemsumyzbiorów
X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X∩Z),
f)rozdzielnośćsumyzbiorówwzględemiloczynuzbiorów
X∪(Y∩Z)=(X∪Y)∩(X∪Z).
Dowód.Udowodnimyjednązwłasnościnp.e).Wprowadźmyoznaczenia.Niech
poznaczazdaniex∈X,qoznaczazdaniex∈Y,roznaczazdaniex∈Z.
Wówczas
X∩(Y∪Z)={x:p∧(q∨r)}.
Ponieważzgodnieztautologią190mamyrównoważnośćp∧(q∨r)⇐⇒(p∧
q)∨(p∧r).ZatemX∩(Y∪Z)={x:p∧(q∨r)}={x:(p∧q)∨(p∧r)}=
(X∩Y)∪(X∩Z).
NiekiedywrozważaniachrozpatrujemypewienustalonyzbiórXibadamy
własnościjegoelementówlubpodzbiorów.Takiwyróżniony„nadzbiór”Xbę-
dziemynazywaćkrótkoprzestrzenią.
Definicja1.2.4.(Uzupełnieniezbioru)
NiechXbędzieprzestrzenią,aB⊂XpewnymustalonympodzbioremX.
UzupełnieniemzbioruBnazywamyzbiórX\BoznaczanysymbolemB′,
tzn.B′=X\B.
