Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
ROZDZIAŁ1.PODSTAWOWEPOJĘCIAMATEMATYKI
eliminowanieantynomiiBanacha-Tarskiegowymagałobyodrzuceniapewnika
wyborujakoaksjomatuteoriimnogości,jednakżepóźniejszepraceK.Gödla
iP.J.Cohena12wykazałyniesprzecznośćiniezależnośćaksjomatuwyboruod
pozostałych(niekwestionowanych)aksjomatówteoriimnogości.Wobecwyni-
kówGödlaiCohenamatematycypowszechniestosująpewnikwyboru,zazna-
czającnaogółfaktodwołaniadotegoaksjomatu.Dowodywykorzystujące
pewnikwyborunazywamynieefektywnymi(p.[19]).
1.2.2
Działanianazbiorach
Definicja1.2.1.(Inkluzjazbiorów)
Mówimy,żezbiórAzawierasięwzbiorzeB,ipiszemyA⊂B,gdykaż-
dyelementzbioruAjestelementemzbioruB.Wówczasmówimy,żeAjest
podzbioremzbioruB,aBjestnadzbioremzbioruA.
Uwaga1.2.1.Wszczególnościkażdyzbiórjestswoimwłasnympodzbiorem
(czasamiużywamyterminupodzbiórniewłaściwy).
Definicja1.2.2.(Zasadaekstensjonalności)
Mówimy,żezbioryXiYsąrówne,ipiszemyX=Y,jeślikażdyelement
zbioruXjestelementemzbioruYorazkażdyelementzbioruYjestelementem
zbioruX.InnymisłowyX=Y⇐⇒X⊂Y∧Y⊂X.
Zasadaekstensjonalnościjestwyrażeniemaksjomatuekstensjonalnościwję-
zykuinkluzji.
Uwaga1.2.2.Zbiór,doktóregonienależyżadenelement,nazywamyzbio-
rempustym(aksjomatzbiorupustego)ioznaczamyprzez∅.Zzasadyeks-
tensjonalnościwynika,żejesttylkojedentakizbiór.
Definicja1.2.3.(Działanianazbiorach)
NiechdanebędądwazbioryX,Y.
10SumązbiorównazywamyzbiórX∪Y={x:(x∈X)∨(x∈Y)},
20IloczynemzbiorówX,Ynazywamyzbiór
X∩Y={x:(x∈X)∧(x∈Y)},
12CohenPaulJoseph(1934–2007)–matematykamerykański,profesorwStanfordUniver-
sity.Przeszedłdohistoriimatematyki,dowodzącniezależnościaksjomatuwyboruihipotezy
continuumodaksjomatówZermelo-Fraenkla(jedenzdwudziestutrzechproblemówHilber-
ta),zacozostałnagrodzonyMedalemFieldsaw1966r.
