Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.ZBIORYIFUNKCJE
Definicja1.2.11.OrelacjiρokreślonejwzbiorzeXmówimy,żejest:
10zwrotna,jeśli∀x∈Xxρx,
20symetryczna,jeśli∀x,g∈X(xρg)=⇒(gρx),
30przechodnia,jeśli∀x,g,z∈X(xρg)∧(gρz)=⇒(xρz),
40antysymetryczna,jeśli∀x,g∈X(xρg)∧(gρx)=⇒(x=g),
50spójna,jeśli∀x,g∈X(xρg)∨(gρx)∨(x=g).
23
Definicja1.2.12.(Relacjarównoważności)
Relacjęρnazywamyrelacjąrównoważności,gdyjestonazwrotna,syme-
trycznaiprzechodnia.
Przykład1.2.9.Wzbiorzesłówwystępującychjakohasławencyklopedii
wprowadzamyrelacjęρ={(x,g):słowoxzaczynasięnatęsamąliteręcoy}.
Relacjaρjestzwrotna,symetrycznaiprzechodnia,jestwięcrelacjąrównoważ-
ności.
l
Definicja1.2.13.(Klasyabstrakcjirelacjirównoważności)
NiechρbędzierelacjąrównoważnościokreślonąwzbiorzeX.Klasąabstrak-
cji(klasąrównoważności)elementux∈Xwzględemrelacjiρnazywamypod-
zbiórXwnastępującejpostaciX⊃[x]ρ={g∈X:xρg}.Wszystkieklasy
abstrakcjizbioruXnazywamyprzestrzeniąilorazowąioznaczamysymbolicz-
nie(X/ρ).
Przykład1.2.10.Dlarelacjiokreślonejwpoprzednimprzykładzieklasami
abstrakcjisązbiorysłówzaczynającesięnatęsamąliterę.
l
Twierdzenie1.2.3.JeżeliρjestrelacjąrównoważnościwzbiorzeX,to
a)∀x,g∈X
(xρg)⇒[x]ρ=[g]ρ,
b)∀x,g∈X
ł(xρg)⇒[x]ρ∩[g]ρ=∅.
Dowódtwierdzeniawynikającybezpośredniozwłasnościrelacjirównoważno-
ścipomijamy.
