Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.ZBIORYIFUNKCJE
Przykład1.2.4.
21
1.Zapis∀x∈Rx2≥0odczytujemyDdlakażdejliczbyrzeczywistejxjest
x2≥0”.Jesttozdanieprawdziwe.
2.Zapis∃x∈Rx2<0odczytujemyDistniejeliczbarzeczywistaxtaka,że
x2<0”.Jesttozdaniefałszywe.
l
Uwaga1.2.5.WprzypadkugdyXjestzbioremskończonym,kwantyfikator
ogólnymożemyuważaćzauogólnieniekoniunkcji,zaśkwantyfikatorszczegó-
łowyzauogólnieniealternatywy.
Tautologierachunkukwantyfikatorów
Zakładamy,że0iΨsąfunkcjamizdaniowymizmiennejxotymsamym
zakresiezmiennościX,wówczas(p.[4])
1.∃x∈X[0(x)∨Ψ(x)]⇐⇒[(∃x∈X0(x))∨(∃x∈XΨ(x))],
2.∃x∈X[0(x)∧Ψ(x)]=⇒[(∃x∈X0(x))∧(∃x∈XΨ(x))],
3.∀x∈X[0(x)∧Ψ(x)]⇐⇒[(∀x∈X0(x))∧(∀x∈XΨ(x))],
4.[(∀x∈X0(x))∨(∀x∈XΨ(x))]=⇒∀x∈X[0(x)∨Ψ(x)].
Przykład1.2.5.Implikacjeodwrotnedoimplikacjipodanychwpodpunktach
2i4.niesątautologiami,rzeczywiścieponiższeimplikacjesązdaniamifałszy-
wymi
[(∃x∈R
x<0)∧(∃x∈Rx>1)]=⇒∃x∈R[x<0∧x>1],
∀x∈R
[x≤0∨x>0]=⇒[(∀x∈Rx≤0)]∨[(∀x∈Rx>0)].
l
Twierdzenie1.2.2.(PrawadeMorgana)
a)ł∀x∈X0(x)⇐⇒∃x∈Xł0(x)
b)ł∃x∈X0(x)⇐⇒∀x∈Xł0(x)
Dowódtwierdzeniapomijamy,azainteresowanegoczytelnikaodsyłamydoli-
teratury(p.[4]).
Przykład1.2.6.NapodstawieprawdeMorganaotrzymujemy:
ł(∀x∈R∃g∈Rxg>0)⇐⇒∃x∈Rł(∃g∈Rxg>0)
⇐⇒∃x∈R∀g∈Rxg≤0
